能否在有限次如上的运动后，所有金币都翻成背面？

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　　将10个金币放在一个圆中，有头像的那面向上。允许两种运动：

　　（1）相邻的4个金币翻一个面；

　　（2）5个相邻的金币○○○○○翻为××○××。

　　能否在有限次如上的运动后，所有金币都翻成背面？

　　解  将10个在圆周上的金币按顺时针方向编号为1，2，…，10。我们对第i个金币加上权：若头像向上，有权O；若头像向下，有权i.金币放好后（有些头像向上，有些向下），则各金币的权的总和称为此图像的权。在约定的两种翻动下，总图像的权的变化如下：

　　由于翻动第k个金币，权的改变为0àk或kà0，差为k或-k。所以模2后，变化为k。因此运动（1）给出

　　i+（i+2）+（i+2）+（i+3）≡0（mod 2）

　　运动（2）给出

　　i+（i+2）+（i+3）+（i+4）≡0（mod 2）

　　这证明了变化后，权的改变为偶数。

　　另一方面，由于一开始放金币时，头像都在上。因此此图的权为0。若能经有限次运动，使得头像都向下，那么此图的权1+2+…+10=55是奇数。由于每次翻动，权作偶数次改变，从0开始，有限次后，所得图的权仍为偶数。这证明了永远不可能经有限次翻动，使金币的背面全向上。