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小学数学故事:点兵场上的神算术

来源:网络资源 文章作者:奥数网整理 2019-01-06 13:20:03

小学数学故事:点兵场上的神算术

  韩信是我国汉初的一员大奖,善于带兵。相传有一天,他在一名部将的陪同下,检阅士兵的操练。当全体士兵编成三路纵队时,韩信问:“最后一排剩多少人?”部将报告:“排尾剩下2人,”当队伍编成五路纵队时,韩信又问:“最后一排剩几人?”答说:“剩下3人”,最后韩信又下达了队伍编成七路纵队的命令,并得知排尾依旧余有2人。

  编队结束后,韩问:“今天有多少将士参加操练?”部将回答说:“今天上场操练的应当有2345人。”韩信想了一想说:“不对吧!场上实际只有2333人,比你报的数字要少12个。”部将半信半疑,下令重新清点队伍,结果果然是2333人,一个不差,于是惊服。当部将问韩信是怎样得知准确数字时,韩信笑着说:“我是根据你刚才报的编队排尾余数算出来的。”

  上面就是著名的“韩信点兵”的故事。故事的情节无疑是后人杜撰的,但点兵场上的神算术,却包含着深刻的科学道理。它源于公元二世纪我国古代的一部算书《孙子算经》。

  《孙子算经》里有这样一道题:有个数字,用三除余数是二,用五除余数是三,用七除余数又是二。现在问这究竟是什么数字?由于这道问题融趣味性的困难性于一体,使得在千百年的历史长河中,演化出许多颇带神秘色彩的名字:诸如“鬼谷算”、“神奇妙算”、“简管术”、“秦王暗点兵”、“大衍求一术”等等。这些无从查考的名字,除最后一个外,实在都与问题的本身风马牛不相及。

  这道题《孙子算经》中提供了以下答案:先把5和7相乘,再乘2,得出70,用3除余数是1;再用3和7相乘,得出21,用5除余数又是1;再用3和5乘得出15,用7除余数也是1。然后把用3除所得的余数2和70相乘,得出140;把用5除所得的余数3和21相乘,得出63;把用7除所得的余数2和15相乘,得出30。再把以上所得的140,63,30三者加起来,得233。由于3×5×7=105,所以233扣去两倍的105,得到数23。它除以3,5,7时,余数不会改变。所以23就是“物不知数”问题的最简答案。

  以上算法可以归纳为两个式子:

  70×2+21×3+15×2=233

  233-105×2=23

  公元1593年,我国明代数学家程大位,在《算法统宗》一书中,还把《孙子算经》上的方法,概括为一首颇妙的诗:

  “三人同行七十稀,五树梅花二十一枝;

  七子团圆正半月,除百零五便得知。”

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