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趣味数学故事:几道趣味算术题的分析

来源:奥数网 2017-08-14 09:36:13

  趣味数学故事:几道趣味算术题的分析

  小学生学珠算时最常做的是自然数累加、三盘清、九盘清这三种基本练习。

  其中自然数累加就是1+2+3+4+……+97+98+99+100,它的计算结果可用大家熟悉的等差数列求和公式(首项+尾项)×项数÷2来计算。从1加到100是5050,从中取任一段数的和都可用此公式算出来。

  三盘清也叫见珠打珠,就是在算盘上先拨上123456789,然后从左向右每一档看见原来是什么数就加上什么数,加第一遍后再从左向右加第二遍、第三遍,这样加的结果是987654312,要是再在末尾加上9就成了987654321。

  九盘清是在算盘上先拨123456789,然后一遍又一遍的加123456789,连加九遍后得出结果是1234567890。

  本人从小脑子很灵但手指很笨,最怕上珠算课,上课时老师要我们练习累加,全班同学陆陆续续完成从1加到100后把手举了起来,可我一个人还在56、57、58、……笨拙地拨拉着算盘珠子,实在不好意思就偷偷的拨上5050后把手举起。后来老师发现部分同学作弊就每天变化,今天要求从1加到73、明天要求从1加到84、……,让大家不能预知最终计算结果。但这也难不到未到十岁的我,我通过自己的分析总结出用(第一个数+最后一个数)×数字个数÷2这个方法偷偷在纸上笔算出答案再拨到算盘上应付老师。上初中后学到数列才知道德国伟大的数学家高斯在十岁时也是用这种方法来计算从1加到100的,我为自己小时候有着与著名数学家一样的思维方法而感到非常自豪。

  对于三盘清和九盘清计算结果出现有规律的数字,我小时候也偷偷的作过分析研究,总结出为什么有规律的原因。

  三盘清是见到什么数加什么数,实际上就是把原来的数乘以二,连续三次乘以二也就是乘以八,而123456789×8=123456789×(10-1-1)=1234567890-123456789-123456789,这样从减法计算的竖式里可看出第一次减时被减数除个位数是0外,其它各位都是比减数大1,如果把三盘清计算后末尾加的9先加在被减数上,那么第一次减下来个位数是0,其它各位数全是1,第二次减就成了1111111110-123456789,这道减法的计算竖式里就有一个有趣的规律:个位数在减时被减数是0必须向十位借1变成10,而十位数在减时由于1被借走也是0就必须向百位数借1变成10,同样百位数向千位数借,千位数向万位数借……计算的时候从个位开始都是本位被减数是0,向上一位借1变成10,每一位都是10减去减数,对减数是123456789这样依次递增的数,最后的计算结果当然是987654321这样依次递减的数了。

  九盘清的分析就相对要简单得多,一个数连续加上九次实际上就是十个这个数的和,那么十个123456789的和当然是1234567890了。

  上世纪八十年代社会上流传着我国台湾省一位小学生在玩电子计算器时无意中发现的有趣现象:在计算器里打上12345679八位数再乘以9就会得出111111111这样九个1,要是乘以3就会得出037037037,乘以6就会得出174174174,……乘以18就会得出222222222……只要在81以内,乘以3的倍数就会出现三位数一个循环的现象,乘以9的倍数就会出现连续九个一样的数而且乘数是9的几倍就是连续的九个几。一时全世界很多人都拿计算器去试这个规律,但都是只知其然,不知其所以然。那时宁波有位好奇的记者请宁波一中当时的校长、全国著名的中学数学特级教师陈守礼老师在《宁波日报》上写文章分析这一有趣现象产生的原因,但陈老师的分析很复杂,大家都难以看懂。我看了后马上用小时候分析三盘清的方法一分析,发现这个计算器现象其实比三盘清的分析还要简单。我就把自己的分析寄给陈老师,可他大概没收到也就没给回音。现在我把这个分析写出来与广大数学爱好者分享。12345679×9=12345679×(10-1)=123456790-12345679,从这个减法计算的竖式里可看出:前面几位全都是被减数比减数大一,没有8十位数9比7大二,但个位数是0不够减向十位数借1,所以十位数也变成了被减数比减数大一,个位被减数借到1后变成10也比减数大一,所以乘以9的结果出现了111111111这样连续九个1的现象,乘以9结果每位数都是1,再乘以几倍(只要在九倍以内)当然是每位数都是几了。现在再来分析乘以3后出现的现象,12345679×3=12345679×9÷3=111111111÷3,从能被3整除的数的规律中可看到连续三位数上的三个1加起来等于3能被3整除,就可把连续九个1分成三个1一段,这样每一段中的111都能被3整除,结果就成了三位数一个循环的现象,当乘数是81时,这三位循环数是999达最大,再大就要进上第四位改变了上一个循环的数值,所以只要乘数在81以内,12345679乘以3的倍数结果就成三位数一循环的三个循环,乘以9的倍数就成了九个一样的数。

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