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数学皇冠的明珠——哥得巴赫猜想

来源:奥数网 2017-07-25 21:33:48

[标签:数学大师] 

  数学皇冠的明珠——哥得巴赫猜想

  大约在250年前,德国数字家哥德巴赫发现了这样一个现象:任何大于5的整数都可以表示为3个质数的和。他验证了许多数字,这个结论都是正确的。但他却找不到任何办法从理论上彻底证明它,于是他在1742年6月7日写信和当时在柏林科学院工作的著名数学家欧拉请教。欧拉认真地思考了这个问题。他首先逐个核对了一张长长的数字表:

  6=2+2+2=3+3

  8=2+3+3=3+5

  9=3+3+3=2+7

  10=2+3+5=5+5

  11=5+3+3

  12=5+5+2=5+7

  99=89+7+3

  100=11+17+71=97+3

  101=97+2+2

  102=97+2+3=97+5

  ……

  这张表可以无限延长,而每一次延长都使欧拉对肯定哥德巴赫的猜想增加了信心。而且他发现证明这个问题实际上应该分成两部分。即证明所有大于2的偶数总能写成2个质数之和,所有大于7的奇数总能写成3个质数之和。当他最终坚信这一结论是真理的时候,就在6月30日复信给哥德巴赫。信中说:“任何大于2的偶数都是两个质数的和,虽然我还不能证明它,但我确信无疑这是完全正确的定理”由于欧拉是颇负盛名的数学家、科学家,所以他的信心吸引和鼓舞无数科学家试图证明它,但直到19世纪末也没有取得任何进展。这一看似简单实则困难无比的数论问题长期困扰着数学界。谁能证明它谁就登上了数学王国中一座高耸奇异的山峰。因此有人把它比作“数学皇冠上的一颗明珠”。

  实际上早已有人对大量的数字进行了验证,对偶数的验证已达到1.3亿个以上,还没有发现任何反例。那么为什么还不能对这个问题下结论呢?这是因为自然数有无限多个,不论验证了多少个数,也不能说下一个数必然如此。数学的严密和精确对任何一个定理都要给出科学的证明。所以“哥德巴赫猜想”几百年来一直未能变成定理,这也正是它以“猜想”身份闻名天下的原因。

  要证明这个问题有几种不同办法,其中之一是证明某数为两数之和,其中第一个数的质因数不超过a个,第二数的质因数不超过b个。这个命题称为(a+b)。最终要达到的目标是证明(a+b)为(1+1)。

  1920年,挪威数学家布朗教授用古老的筛选法证明了任何一个大于2的偶数都能表示为9个质数的乘积与另外9个质数乘积的和,即证明了(a+b)为(9+9)。

  1924年,德国数学家证明了(7+7);

  1932年,英国数学家证明了(6+6);

  1937年,苏联数学家维诺格拉多夫证明了充分大的奇数可以表示为3个奇质数之和,这使欧拉设想中的奇数部分有了结论,剩下的只有偶数部分的命题了。

  1938年,我国数学家华罗庚证明了几乎所有偶数都可以表示为一个质数和另一个质数的方幂之和,即()。

  1938年到1956年,苏联数学家又相继证明了(5+5),(4+4),(3+3)。

  1957年,我国数学家王元证明了(2+3);

  1962年,我国数学家潘承洞与苏联数学家巴尔巴恩各自独立证明了(1+5);

  1963年,潘承洞、王元和巴尔巴恩又都证明了(1+4)。

  1965年,几位数学家同时证明了(1+3)。

  1966年,我国青年数学家陈景润(图61)在对筛选法进行了重要改进之后,终于证明了(1+2)。他的证明震惊中外,被誉为“推动了群山,”并被命名为“陈氏定理”。他证明了如下的结论:任何一个充分大的偶数,都可以表示成两个数之和,其中一个数是质数,别一个数或者是质数,或者是两个质数的乘积。

  现在的证明距离最后的结果就差一步了(图62)。而这一步却无比艰难。30多年过去了,还没有能迈出这一步。许多科学家认为,要证明(1+1)以往的路走不通了,必须要创造新方法。当“陈氏定理”公之于众的时候,许多业余数学爱好者也跃跃欲试,想要摘取“皇冠上的明珠”。然而科学不是儿戏,不存在任何捷径。只有那些有深厚的科学功底,“在崎岖小路的攀登上不畏劳苦的人,才有希望达到光辉的顶点。

  “哥德巴赫猜想“这颗明珠还在闪闪发光地向数学家们招手,她希望数学家们能够早一天采摘到她。

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