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刘徽创立的割圆术

来源:奥数网 2017-07-25 21:22:12

  刘徽创立的割圆术

  圆周率是对圆形和球体进行数学分析时不可缺少的一个常数,各国古代科学家均将圆周率作为一个重要课题。我国最早采用的圆周率数值为三,即所谓“径一周三”。《九章算术》中就采用了这个数据,“方田”中有这样一个问题“今有圆田,周三十步,径十步,问田有几何?”很显然,这个数值不能满足精确计算的要求。汉代一些数学家已发现了这一问题,并在实际应用时采用多种圆周率数值。经过他们的努力,数值精确度虽有提高,但大多是经验成果,缺少理论基础。

  圆周率计算上的有所突破,有赖于有效方法的诞生,这种方法就是割圆术。刘徽经过深入研究,他发现圆内接正多边形边数无限增加时,多边形周长可无限逼近圆周长,从而创立了“割圆术”。

  割圆术的主要内容是:一、在圆内作内接正六边形,每边边长均等于半径;再作正十二边形,从勾股定理出发,求得正十二边形的边长,如此类推,从内接n边形的边长可推知内接2n边形的边长。二、从圆内接正n边形每边边长,可求得内接2n边形的面积。如图正十二边形的一部分(四边形OADB)的面积,等于正六边形边长AB乘以半径OD的一半,这样,即使边数极多的内接正多边形面积也可以一步步求解。三、圆的面积介于两个可求得的值之间。

  依据极限观念,刘徽指出:随着圆内接正多边形边数的增加,它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积,“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”。将这种极限思想和上述不等式结合起来,通过不断增加多边形边数,就可以从不足近似值和过剩近似值两个方面逼近圆周率的真值。这两个数据的精确度是当时世界上前所未有的。

  与刘徽类似的是,古希腊的阿基米德也用正多边形法去求圆周率。但是阿基米德是用归谬法证得这一结果的,避开了极限概念,而刘徽却大胆地应用了以直代曲、无限趋近的思想方法;且阿基米德的方法需另外计算圆外切正多边形面积,刘徽的方法则只需求内接正多边形面积。与阿基米德比,刘徽的割圆术可谓事半功倍。

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