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数学瑰宝《梦溪笔谈》

来源:奥数网 2017-07-25 21:13:42

  数学瑰宝《梦溪笔谈》

  宋代是中国古代数学最辉煌的时期之一。北宋大科学家沈括的名著《梦溪笔谈》中,有10多条有关数学的讨论,内容既广且深,堪称我国古代数学的瑰宝。

  沈括最重要的数学探讨是隙积术和会圆术。隙积术在我国数学史上开辟了高阶等差级数求和的研究领域,对高阶等差级数的研究始自沈括。

  所谓“隙积”,指的是有空隙的堆积体、例如酒店中堆积的酒坛、叠起来的棋子等,这类堆积体整体上就像一个倒扣的斗,与平截头的长方锥(刍童)很像。但是隙积的边缘不是平的,而中间又有空隙,所以不能照搬刍童的体积公式。沈括经过思考后,发现了正确的计算方法。他以堆积的酒坛为例说明这一问题:设最上层为纵横各2个坛子,最下层为纵横各12个坛子,相邻两层纵横各差1坛,显然这堆酒坛共11层;每个酒坛的体积不妨设为1,用刍童体积公式计算,总体积为3784/6,酒坛总数也应是这个数。显然,酒坛数不应为非整数,问题何在呢?沈括提出,应在刍童体积基础上加上一项“(下宽-上宽)×高/6”,即为110/6,酒坛实际数应为(3784+110)/6=649。加上去的这一项正是一个体积上的修正项。在这里,沈括以体积公式为基础,把求解不连续的个体的累积数(级数求和),化为连续整体数值来求解,可见他已具有了用连续模型解决离散问题的思想。

  会圆术是对圆的弧矢关系给出的比较实用的近似公式,主要思想是局部以直代曲。沈括进一步应用《九章算术》中弧田的面积近似公式,求出弧长,这便是会圆术公式。沈括得出的虽是近似公式,但可以证明,当圆心角小于45°时,相对误差小于2%,所以该公式有较强的实用性。这是对刘徽割圆术以弦(正多边形的边)代替圆弧思想的一个重要佐证,很有理论意义。后来,郭守敬、王恂在历法计算中,就应用了会圆术。

  在《梦溪笔谈》中,沈括还应用组合数学法计算得出围棋可能的局数是3361种,并提出用数量级概念来表示大数3361的方法。沈括还在书中记载了一些运筹思想,如将暴涨的汴水引向古城废墟来抢救河堤的塌陷,以及用挖路成河、取土、运输,最后又将建筑垃圾填河成路的方法来修复皇宫等。沈括对数的本质的认识也很深刻,指出:“大凡物有定形,形有真数。”显然他否定了数的神秘性,而肯定了数与物的关系。他还指出:“然算术不患多学,见简即用,见繁即变,乃为通术也。”

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