中国古今数学家——程大位(2)

　　二、改进珠算法

　　《算法统宗》的另一特点是大部分题采用珠算，这也体现厂作者着眼于应用的精神。珠算盘是一种构造简单、价格低廉、容易携带的计算工具。珠算与筹算相比，运算更为方便、迅速。但当时的珠算方法还不够完善，有的口诀也不够顺畅，于是程大位便花大力气改进珠算法及珠算口诀。他为了区别乘除法口诀，在卷一明确规定：“九九合数”应“呼小数在上，大数在下”，“九归歌”应“呼大数在上，小数在下”。例如“六八四十八”是乘法口诀，“八六七十四”是除法口诀。书中记载着完整的撞归口诀，如“一归：见一无除作九一，起一下还一”；“二归，见二无除作九二，起一下还二”等等。第六、七卷中，程大位还给出珠算开平、立方的方法。虽不能肯定这是他的发明，但该书确是最早记载这种方法的古算书之一。(成书稍早于《算法统宗》而出版稍晚的朱载培《算学新说》中也有珠算开平、立方法。)书中的珠算定位法则应归功于程大位，因为当时流行的珠算书中都未提到。

　　吴敬的《九章算法比类大全》中虽有定位法，但他是用于筹算。首次完整地叙述珠算定位法的是《算法统宗》中的“定位总歌”：

　　“数家定位法为奇，因乘俱向下位推。

　　加减只需认本位，归与归除上位施。

　　法多原实逆上数，法前得零顺下宜。

　　法少原实降下数，法前得零逆上知。”

　　程大位十分重视珠算口诀，他认为口诀是学珠算、用珠算的基础，一定要记熟。他反复强调：“一要熟读九歌，二要诵归除歌法”，“学算之人须努力，先将九数时时习。”

　　三、补充面积公式

　　在用珠算法解决的各种实际问题中，特别引人注目的是面积问题。对于广大农村来说，田亩测量是不可缺少的，所以程大位十分重视面积问题。在《算法统宗》卷三“方田”中，他结合田亩测量总结出大量面积公式，并编成歌谣，给出图形。这一卷所绘图形60余种，其中比较基本的有十几种，其他都是由这些图形割补而成的。这十几种图形中，一些是《九章算术》中已有公式的，如方田(正方形)、直田(矩形)、圭田(三角形)、邪田(梯形)、圆田(圆形)、弧田(弓形)等，另一些图形则是《九章算术》中没有的，程大位分别给出公式。

　　对于计算结果、程大位既要求尽可能准确，又主张根据—体情况适可而止。

　　程大位不用旧法而创立“截法”、就是为了计算结果的准确。他说：“遇歪斜不等，必有斜步，岂可作正步相乘？若截之，庶无误矣。”对于更加复杂的图形，只用“截法”还不行，程大位便采用“截盈补虚”的方法，他说：“田之形状甚多，具载难尽，学者不必执泥，在于临场机变，必须截盈补虚，卑尖减大，以合规式。但田中央先取出方、直、勾股、圭、梭等形，另积旁余，并而于一，然后用法乘除之，用少广章开方等法还原，始为精密之术焉。”但他对准确性的要求是有限度的，因为他着眼于应用。他指出：“世之习算者，咸以方五斜七、围三径一为准，殊不知方五则斜七有奇，径一则围三有奇”，可见他知道有更准确的比值，但他认为不一定使用，因为：数多则散漫难收”，即精确的数据位数多，计算起采太复杂，这在实际应用中往往是没有必要的。

　　四、创造丈量步车

　　为了适应当时测量田亩的需要，程大位还创造了一种丈量步车，在《算法统宗》中绘有图形并有详细解说；这种测量工具类似于现在的卷尺，由环、十字架、转轴、锁、钻角及缠在十字架内的竹尺(薄竹片制成的尺)构成，如图6。这在当时是一种很先进的测量工具。程大位对自己的发明十分得意，在图边自题：“宾渠制造心机巧，隶首传来数学精。”

　　五、寓算题于诗词

　　除了《算法统宗》的内容以外，我们从它的文字形式上也可以看出作者重视数学的应用与普及的思想。全书文字分为叙述性文字、诗词歌诀及图表中的文字三种形式，而诗词贯穿全书，占了相当大的比例。这些诗词，既是优美的文学作品，又是直接为数学服务的。例如“留头乘”的歌诀是一首七绝：“下乘之法此为真，起于先将第二因，三四五来乘遍了，却将本位破其身。”衰分章的一首《西江月》用来命题：“群羊一百四十，剪毛不惮勤劳，群中有母有羊羔，先剪二毛比较。大羊剪毛斤二，一十二两羔毛，百五十斤是根苗，子母各该多少？”这些诗词浅明易懂，生动有趣，使读者在学习珠算的过程中同时得到美的享受。再如盈肋章用来命题的一首五律：“今携一壶酒，游春郊外走。逢朋添一倍，入店饮斗九。相逢三处店，饮尽壶中酒。试问能算士，如何知原有？”此诗不仅朗朗上口，而且具有浓厚的生活气息。读罢全诗，仿佛在眼前展现出一幅情趣盎然的携酒春游图。这种大众化的生动诗歌，无疑会引起读者的兴趣。《算法统宗》寓算题于诗词，赋予数学书以文学色彩，其普及数学的效果是显而易见的。人们在愉快地欣赏这些诗词的同时，也就开始了对数学的理解。《算法统宗》成为明清两代流传最广泛的算书，甚至能超越国度，受到日本、朝鲜和东南亚各国人民的欢迎，其引人入胜的文字无疑是原因之一。