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音乐与数学

来源:奥数网 2016-07-14 14:32:56

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  动人的音乐常给人以美妙的感受。古人云:余音绕梁,三日不绝,这说的是唱得好,也有的人五音不全,唱不成调,这就是唱得不好了。同样是唱歌,甚至是唱同样的歌,给人的感觉却是迥然不同。其重要原因在于歌唱者发声振动频率不同。

  人类很早就在实践中对声音是否和谐有了感受,但对谐和音的比较深入的了解只是在弦乐器出现以后,这是因为弦振动频率和弦的长度存在着简单的比例关系。近代数学已经得出弦振动的频率公式是W=,这里,P是弦的材料的线密度;T是弦的张力,也就是张紧程度;L是弦长;W是频率,通常以每秒一次即赫兹为单位。

  那么,决定音乐和谐的因素又是什么呢?人类经过长期的研究,发现它决定于两音的频率之比。两音频率之比越简单,两音的感觉效果越纯净、愉快与和谐。

  首先,最简单之比是2:1。例如,一个音的频率是160、7赫兹,那么,与它相邻的协和音的频率应该是2×260、7赫兹,这就是高八度音。而与频率为2×260、7赫兹的音和谐的次一个音是4×260、7赫兹。这样推导下去,我们可以得到下面一列和谐的音乐:

  260、7,2×260、7,22×260、7……

  我们把它简记为C0,C1,C2,……,称为音名。

  由于我们讨论的是音的比较,可暂时不管音的绝对高度(频率),因此又可将音乐简写为:

  C0C1C2C3……

  20212223……

  需要说明的是,在上面的音列中,不仅相邻的音是和谐的,而且C与C2,C与C3等等也都是和谐的。一般说来这些协和音频率之比是2M。(其中M是自然数)

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