决战2013年小升初数学竞赛解题密匙：整除问题

　　在2013年小升初中，奥数竞赛占了一个非常重要的位置。也可以说奥数就是重点中学的一块小小的敲门砖，可以让你在小升初择校过程中事半功倍。下面是奥数网小编整理的2013年数学竞赛解题密匙，希望对大家有所帮助。

六、整除问题——概念清，规律要记

　　同学们与数学交朋友都是从整数 1、2、3、⋯⋯开始的，现在大家都有 了一些关于整数方面的知识，但这仅仅是整数中最简单、最基本的内容，还有许许多多奥妙的理论与问题等待着我们去发现、去创造。陈景润爷爷所研 究的“哥德巴赫猜想”就是整数中的一个著名的问题，他已取得了世界上令 人嘱目的领先地位。

　　本章概念多、理论性强，希望大家在弄清概念的基础上要记牢规律，它 对于解答整数问题，一定有很大的帮助。

　　本章所研究的数或英文字母，仍指零和自然数(统称叫整数)。

　　例 1 四位数3A71能被9整除，求 A。　(美国长岛小学数学比赛题)

　　解：根据“如果一个数各位上的数的和能被 9 整除，那么这个数能被 9整除”的规律，要使四位数3A71能被 9整除，那么3+A +7+ 1=11+A必须能被9整除。这里，A 是 0～9 中的整数，因此， A+11=18，得 A=7。 答：A 是7。

　　说明：为了学好《整除问题》，必须牢记能被一些常用数(如 2、5、4、25、8、125、3、9、7 11、13⋯⋯)整除的数的特征以及整数的基本性质。

　　现在分别叙述如下：

　　(一)能被一个数整除的数的特征

　　(1)能被 2 或 5 整除的数的特征是：这个数的末一位数能被 2 或 5 整除;

　　(2)能被 4 或 25 整除的数的特征是：这个数的末两位数能被 4 或 25 整除;

　　(3)能被 8 或 125 整除的数的特征是：这个数的末三位数能被 8 或 125 整除;

　　(4)能被 9 或 3 整除的数的特征是：这个数的各个数位上的数之和能被9 或 3 整除;

　　(5)能被 11 整除的数的特征是：这个数奇数位上数的和与偶数位上数的和之差(或反过来)能被 11 整除;

　　(6)能被 7、11、13 整除的数的特征是：这个数的末三位数与末三位以 前的数之差(或反过来)能被 7、 11、 13 整除。

　　(二)整数的基本性质

　　(1)如果两个整数都能被同一个自然数整除，那么这两个数的和或差也 能被这个自然数整除。

　　如： 18 与 12 都能被 3 整除，所以 18 与 12 的和 30 也能被 3 整除， 18 与 12 的差 6 也能被 3 整除。

　　(2)如果一个整数能被一个自然数整除，那么这个数的整数倍也能被这个自然数整除。

　　如： 14 能被 7 整除，所以 14×5 的积 70 也能被 7 整除。

　　(3)如果一个整数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个整数能 被这两个互质数的积整除。

　　如：60 能被 3 整除，也能被 5 整除，3 与 5 是互质数，所以 60 能被 3×

　　5 的积 15 整除。

　　例 2 如果六位数□8919□能被 33 整除，那么这个六位数是多少? 解：设这个六位数为 W，并且它的十万位上的数为 x，个位上的数为 y(也就是 W=x8919y)。

　　因为 33=3×11，3 与 11 是互质数，所以根据整数的基本性质(3)，可 得如果 W 能被 3、11 整除，那么 W 就能被 3×11=33 整除。

　　要使 W 能被 3 整除，必须使 x+8+9+1+9+y=27+x+y 能被 3 整除，因为 27 能被 3 整除，如果 x+y 也能被 3 整除，那么根据整数的基本性质(1) 可得 27+x+y 能被 3 整除，从而 W 能被 3 整除。

　　要使 W 能被 11 整除，必须使(9+9+x)-(y+1+8)=9+(x-y) 能被 11 整除。

　　综合以上情况，得

　　x+y 能被 3 整除⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(1)

　　9+(x-y)能被 11 整除⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2)

　　因为 x、y 均是 0～9 中的整数(x≠0)，所以，9+(x-y)=11，即 x=y+2。

　　当 y=0、1、2、3、4、5、6、7 时， x=2、3、4、5、6、7、8、9。 由(1)，可得 y=2，x=4 或 y=5，x=7。 所以 W=489192 或 789195。

　　答：这个六位数是 489192 或 789195