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六年级奥数课堂:数论的方法技巧之二

2011-10-20 11:31:16      下载试卷

六年级奥数课堂:数论的方法技巧之二

四、反证法

  反证法即首先对命题的结论作出相反的假设,并从此假设出发,经过正确的推理,导出矛盾的结果,这就否定了作为推理出发点的假设,从而肯定了原结论是正确的。

  反证法的过程可简述为以下三个步骤:

  1.反设:假设所要证明的结论不成立,而其反面成立;

  2.归谬:由“反设”出发,通过正确的推理,导出矛盾――与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾;

  3.结论:因为推理正确,产生矛盾的原因在于“反设”的谬误,既然结论的反面不成立,从而肯定了结论成立。

  运用反证法的关键在于导致矛盾。在数论中,不少问题是通过奇偶分析或同余等方法引出矛盾的。

  

  解:如果存在这样的三位数,那么就有

  100a+10b+c=10a+b+10b+c+10a+c)。上式可化简为 80a=b+c,而这显然是不可能的,因为a1b9c9。这表明所找的数是不存在的。

  说明:在证明不存在性的问题时,常用反证法:先假设存在,即至少有一个元素,它符合命题中所述的一切要求,然后从这个存在的元素出发,进行推理,直到产生矛盾。

  例2 将某个17位数的数字的排列顺序颠倒,再将得到的数与原来的数相加。试说明,得到的和中至少有一个数字是偶数。

  解:假设得到的和中没有一个数字是偶数,即全是奇数。在如下式所示的加法算式中,末一列数字的和d+a为奇数,从而第一列也是如此,因此第二列数字的和b+c9。将已知数的前两位数字ab与末两位数字cd去掉,所得的13位数仍具有“将它的数字颠倒,得到的数与它相加,和的数字都是奇数”这一性质。照此进行,每次去掉首末各两位数字,最后得到一位数,它与自身相加是偶数,矛盾。故和的数字中必有偶数。

 

  说明:显然结论对(4k+1)位数也成立。但对其他位数的数不一定成立。如12+21506+605等。

  例3 有一个魔术钱币机,当塞入11分硬币时,退出11角和15分的硬币;当塞入15分硬币时,退出41角硬币;当塞入11角硬币时,退出31分硬币。小红由11分硬币和15分硬币开始,反复将硬币塞入机器,能否在某一时刻,小红手中1分的硬币刚好比1角的硬币少10枚?

  解:开始只有11分硬币,没有1角的,所以开始时1角的和1分的总枚数为 0+1=1,这是奇数。每使用一次该机器,1分与1角的总枚数记为Q。下面考查Q的奇偶性。

  如果塞入11分的硬币,那么Q暂时减少1,但我们取回了11角的硬币(和15分的硬币),所以总数Q没有变化;如果再塞入15分的硬币(得到41角硬币),那么Q增加4,而其奇偶性不变;如果塞入11角硬币,那么Q增加2,其奇偶性也不变。所以每使用一次机器,Q的奇偶性不变,因为开始时Q为奇数,它将一直保持为奇数。

  这样,我们就不可能得到1分硬币的枚数刚好比1角硬币数少 10的情况,因为如果我们有P1分硬币和(P+10)枚1角硬币,那么1分和1角硬币的总枚数为(2P+10),这是一个偶数。矛盾。

  例 43×3的方格表中已如右图填入了9个质数。将表中同一行或同一列的3个数加上相同的自然数称为一次操作。问:你能通过若干次操作使得表中9个数都变为相同的数吗?为什么?

 

  解:因为表中9个质数之和恰为100,被3除余1,经过每一次操作,总和增加3的倍数,所以表中9个数之和除以3总是余1。如果表中9个数变为相等,那么9个数的总和应能被3整除,这就得出矛盾!

  所以,无论经过多少次操作,表中的数都不会变为9个相同的数。

来源:奥数网整理

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