经典数学：比贝尔巴赫猜想

中学数学知识的人都知道“函数”这一重要概念．一般地，可用符号y=f(x)表示函数，x与y表示变量，f表示x与y之间的变化的关系．当x取某一确定的值，就可以得到一个确定的y值．如果x只取实数值，得到的y值也是实数值，那么就称y=f(x)为一个实函数．如果x可取复数值，y得到的也可以是复数，那么这函数就称为复变函数或简称复函数．为了与实函数相区别，复函数通常记为z=f(z)．可求导数的复函数叫解析函数．

假设R为复平面C中的一个区域，若对R中任意两个不同的点z1，z2有f(z1)≠f(z2)，则称f(z)在R上是单叶的．进一步，若在单位圆D={z∈C：|z|＜1}中有f＇(z)≠0，则称f(z)单叶正则．如果加上规范条件f(0)= 0及f＇(0)= 1，f(z)按Taylor级数展开得f(z)=z+a2z2＋…＋anzn＋…，|z|＜1这种函数的全体称为正规族，记为S．

在S中扮演重要角色的是Koebe函数

若θ为任意实数，则e-iθK(eiθz)∈S，且将单位圆映到全平面除去由 数的一个旋转．

1916年，德国数学家比贝尔巴赫研究S中的函数f(z)，发现其系数具有一个共同的性质：|a1|≤1，|a2|≤2，……，由此他猜想：有|an|≤n，且这个界限只能被Koebe函数的旋转所达到．这就是著名的比贝尔巴赫猜想．

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