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认识简单数列

2011-08-09 15:32:03      下载试卷

  我们把按一定规律排列起来的一列数叫数列.

  在这一讲里,我们要认识一些重要的简单数列,还要学习找出数列的生成规律;学会把数列中缺少的数写出来,最后还要学习解答一些生活中涉及数列知识的实际问题.

  例1 找出下面各数列的规律,并填空.

  (1)1,2,3,4,5,□,□,8,9,10.

  (2)1,3,5,7,9,□,□,15,17,19.

  (3)2,4,6,8,10,□,□,16,18,20.

  (4)1,4,7,10,□,□,19,22,25.

  (5) 5,10,15,20,□,□,35,40,45.



  注意:自然数列、奇数列、偶数列也是等差数列.

  例2 找出下面的数列的规律并填空.

  1,1,2,3,5,8,13,□,□,55,89.

  解:这叫斐波那契数列,从第三个数起,每个数都是它前面的两个数之和.这是个有重要用途的数列.8+13=21,13+21=34.所以:

  空处依次填:

  例3 找出下面数列的生成规律并填空.

  1,2,4,8,16,□,□,128,256.

  解:它叫等比数列,它的后一个数是前一个数的2倍.16×2=32,32×2=64,所以空处依次填:

  例4 找出下面数列的规律,并填空.

  1,2,4,7,11,□,□,29,37.

  解:这数列规律是:后一个数减前一个数的差是逐渐变大的,这些差是个自然数列:


  例5 找出下面数列的规律,并填空:

  1,3,7,15,31,□,□,255,511.

  解:规律是:后一个数减前一个数的差是逐渐变大的,差的变化规律是个等比数列,后一个差是前一个差的2倍.


  另外,原数列的规律也可以这样看:后一个数等于前一个数乘以2再加1,即后一个数=前一个数×2+1.

  例6 找出下面数列的生成规律,并填空.

  1,4,9,16,25,□,□,64,81,100.

  解:这是自然数平方数列,它的每一个数都是自然数的自乘积.如:1=1×1,4=2×2,9=3×3,16=4×4,25=5×5,,64=8×8,81=9×9,100=10×10.

  若写成下面对应起来的形式,就看得更清楚.

  自然数列: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

  ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

  自然数平方数列:1 4 9 16 25 36 49 64 81 100

  例7 一辆公共汽车有78个座位,空车出发.第一站上1位乘客,第二站上2位,第三站上3位,依此下去,多少站以后,车上坐满乘客?(假定在坐满以前,无乘客下车,见表四(1))


  方法2:由上表可知,车上的人数是自1开始的连续自然数相加之和,到第几站后,就加到几,所以只要加到出现78时,就可知道是到多少站了,

  1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78(人)

  可见第12站以后,车上坐满乘客.

  例8 如果第一个数是3,以后每隔6个数写出一个数,得到一列数:3,10,17,……,73.这里3叫第一项,10叫第二项,17叫第三项,试求73是第几项?

  解:从第1项开始,把各项依次写出来,一直写到73出现为止(见表四(2)).

  可见73是第11项.

  例9 一天,爸爸给小明买了一包糖,数一数刚好100块.爸爸灵机一动,又拿来了10个纸盒,接着说:“小明,现在你把糖往盒子里放,我要求你在第一个盒子里放2块,第二个盒子里放4块,第三个盒子里放8块,第四个盒子里放16块,……照这样一直放下去.要放满这10个盒,你说这100块糖够不够?”小朋友,请你帮小明想一想?

  解:小朋友,你是不是以为100块糖肯定能够放满这10个纸盒的了!下面让我们算一算,看你想得对不对(见表四(3)).表四(3)



  放满10个盒所需要的糖块总数:

  可见100块糖是远远不够的,还差1946块呢!这可能是你没有想到的吧!其实,数学中还有很多很多奇妙无比的故事呢.
 

来源:奥数网 作者:奥数网整理

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