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计数之插板法经典例题六

2011-07-20 10:42:27      下载试卷

  计数之插板法经典例题六

  例.现有10个完全相同的球全部分给7个班级,每班至少1个球,问共有多少种不同的分法?

  【解析】:题目中球的分法共三类:

  第一类:有3个班每个班分到2个球,其余4个班每班分到1个球。其分法种数为。

  第二类:有1个班分到3个球,1个班分到2个球,其余5个班每班分到1个球。其分法种数。

  第三类:有1个班分到4个球,其余的6个班每班分到1个球。其分法种数。

  所以,10个球分给7个班,每班至少一个球的分法种数为:。

  由上面解题过程可以明显感到对这类问题进行分类计算,比较繁锁,若是上题中球的数目较多处理起来将更加困难,因此我们需要寻求一种新的模式解决问题,我们创设这样一种虚拟的情境——插板。

  将10个相同的球排成一行,10个球之间出现了9个空档,现在我们用“档板”把10个球隔成有序的7份,每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球(可能是1个、2个、3个、4个),借助于这样的虚拟“档板”分配物品的方法称之为插板法。

  由上述分析可知,分球的方法实际上为档板的插法:即是在9个空档之中插入6个“档板”(6个档板可把球分为7组),其方法种数为。

  由上述问题的分析解决看到,这种插板法解决起来非常简单,但同时也提醒各位考友,这类问题模型适用前提相当严格,必须同时满足以下3个条件:

  ①所要分的元素必须完全相同;

  ②所要分的元素必须分完,决不允许有剩余;

  ③参与分元素的每组至少分到1个,决不允许出现分不到元素的组。
 

来源:奥数网

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