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数论问题之整数拆分:练习题含精讲

2011-06-14 19:48:17      下载试卷

  1、将一根长144厘米的铁丝,做成长和宽都是整数的长方形,共有______种不同的做法 其中面积最大的是哪一种长方形

  (1992年"我爱数学"邀请赛试题)

  讲析:做成的长方形,长与宽的和是

  144÷2=72(厘米).

  因为72=1+71=2+70=3+69=……=35+37=36+36,

  所以,一共有36种不同的做法.

  比较以上每种长方形长与宽的积,可发现:当长与宽都是36厘米时,面积最大.

 

  2、若干只同样的盒子排成一列,小明把42个同样的小球放在这些盒子里然后外出,小聪从每只盒子里取出一个小球,然后把这些小球放到小球最少的盒子里去,在把盒子从新排列了一下。小明回来,仔细查看,没有发现友人动过小球和盒子。问:一共有多少只盒子?

  分析:设原来小球数最少的盒子里装有a只小球,现在增加到了b只,但小明发现没有人动过小球和盒子,这说明现在又有了一只装有a个球的盒子,这只盒子原来装有a+1个小球,

  同理,现在另有一个盒子里装有a+1个小球,这只盒子里原来装有a+2个小球。

  依此类推可知:原来还有一个盒子里装有a+3个小球,a+4个小球等等,故原来那些盒子里装有的小球数是一些连续自然数。

  现在这个问题就变成了:将42分拆成若干个连续整数的和,一共有多少种分法,每一种分法有多少个加数?

  因为42=6×7,故可将42看成7个6的和,又:

  (7+5)+(8+4)+(9+3)

  是六个6,从而:

  42=3+4+5+6+7+8+9

  一共有7个加数;又因为42=14×3,可将42写成13+14+15,一共有3个加数;

  又因为42=21×2,故可将42写成9+10+11+12,一共有4个加数。

  解:本题有三个解,一共有7只盒子,4只盒子,3只盒子。

  点金术:巧用假设和推理把已知和未知联系起来。

 

  3、将1992表示成若干个自然数的和,如果要使这些数的乘积最大,这些自然数是______.

  (1992年武汉市小学数学竞赛试题)

  讲析:若把一个整数拆分成几个自然数时,有大于4的数,则把大于4的这个数再分成一个2与另一个大于2的自然数之和,则这个2与大于2的这个数的乘积肯定比它大.又如果拆分的数中含有1,则与"乘积最大"不符.

  所以,要使加数之积最大,加数只能是2和3.

  但是,若加数中含有3个2,则不如将它分成2个3.因为2×2×2=8,而3×3=9.

  所以,拆分出的自然数中,至多含有两个2,而其余都是3.

  而1992÷3=664.故,这些自然数是664个3.

 

  4、把50分成4个自然数,使得第一个数乘以2等于第二个数除以2;第三个数加上2等于第四个数减去2,最多有______种分法.

  (1990年《小学生报》小学数学竞赛试题)

  讲析:设50分成的4个自然数分别是a,b,c,d.

  因为a×2=b÷2,则b=4a.所以a,b之和必是5的倍数.

  那么,a与b的和是5,10,15,20,25,30,35,40,45.

  又因为c+2=d-2,即d=c+4.所以c,d之和加上4之后,必是2的倍数.

  则c,d可取的数组有:

  (40,10),(30,20),(20,30),(10,40).

  由于40÷5=8,40-8=32;(10-4)÷2=3,10-3=7,

  得出符合条件的a,b,c,d一组为(8,32,3,7).

  同理得出另外三组为:(6,24,8,12),(4,16,13,17),(2,8,18,22).

  所以,最多有4种分法.

 

  5、把945写成连续自然数相加的形式,有多少种

  (第一届"新苗杯"小学数学竞赛试题)

  讲析:因为945=35×5×7,它共有(5+1)×(1+1)×(1+1)=16(个)奇约数.

  所以,945共能分拆成16-1=15(种)不同形式的连续自然数之和.

 

   5、几个连续自然数相加,和能等于1991吗 如果能,有几种不同的答案 写出这些答案;如果不能,说明理由.

  (全国第五届《从小爱数学》邀请赛试题)

  讲析:1991=11×181,它共有(1+1)×(1+1)=4(个)奇约数.

  所以,1991可以分成几个连续自然数相加,并且有3种答案.

  由1991=1×1991得:

  1991=995+996.

  由1991=11×181得:

  …+(80+101)

  =80+81+……+100+101.

 

  6、一道简单的问题是:用1、+、×、()的运算来分别表示23和27,哪个数用的1较少?要表达2008,最少要用多少个1?

  我们先给出从1到15的表达式。

  1=1,

  2=1+1,

  3=1+1+1,

  4=(1+1)×(1+1),

  5=(1+1)×(1+1)+1,

  6=(1+1)×(1+1+1),

  7=(1+1)×(1+1+1)+1,

  8=(1+1)×(1+1)×(1+1),

  9=(1+1+1)×(1+1+1),

  10=(1+1)×((1+1)×(1+1)+1),

  11=(1+1)×((1+1)×(1+1)+1)+1,

  12=(1+1+1)×(1+1)×(1+1),

  13=(1+1+1)×(1+1)×(1+1)+1,

  14=  (1+1)×((1+1)×(1+1+1)+1),

  15= (1+1+1)×((1+1)×(1+1)+1)。

  把用1的个数写成数列,就是{1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 7, 8, 8, 8, ...}。

  对于23,

  23 = (1+1)×((1+1)×((1+1)×(1+1)+1)+1)+1,

  1的个数为11。

  对于27,

  27 = (1+1+1) × (1+1+1) × (1+1+1)

  1的个数为9。

  对于2008这样的大数,要寻找表达式很困难。

  我找到的表达式是

  (((1+1)×(1+1)×(1+1+1)×(1+1+1)+1)×(1+1)×(1+1+1)+1)×(1+1+1)×(1+1+1)+1=2008

  一共用了24个1,但是不是用了最少的1,证明起来有一定难度。

 

  7、下面这道题出自斯坦福大学入学考试题。

  有一天非常热,四对夫妇共饮了44瓶可乐。女士安喝了2瓶,贝蒂喝了3瓶,卡罗尔喝了4瓶,多萝西喝了5瓶。布朗先生和他的妻子喝得一样多,但是其他三位男士都比各自的妻子喝得多:格林先生是其妻的两倍,怀特先生是三倍,史密斯先生是四倍。请说出四位女士的姓。

  在美国,妻子与丈夫同姓。解决本题的方法之一是解不定方程。下面我们换一种方法,就是整数的拆分。

  44瓶可乐,减去女士已经喝掉的14瓶,还剩30瓶。先按照每个男士和女士喝得一样多,再减掉男士喝掉的14瓶,还剩16瓶。本题的实质是把16拆分成2、3、4、5中的某3个数的1、2、3。倍之和。

  显然,5或者4的3倍加上2、3会超过16,3的3倍也不行,只有2的3倍是一个可行的数。

  16去掉6后还剩下10。也就是要把10拆分成3、4、5中某2个数的1、2倍之和,结果就是2个3和1个4。

  最后,我们得到的答案是

  44=2+3+4+5+4×2+3×3+2×4+1×5。

  和题目描述的对比一下,就可以知道四位女士的姓名了:安·史密斯,贝蒂·怀特,卡罗尔·格林,多萝西·布朗。

  用整数的拆分方法来解整数方程,也是一条好途径。

 

  8、子女的年龄

  题目的描述是这样的:一个经理有3个女儿,3个女儿的年龄加起来等于13,3个女儿的年龄乘起来等于经理自己的年龄,有1个下属已知道经理的年龄,但仍不能确定经理3个女儿的年龄,这时经理说只有1个女儿的头发是黑的,然后这个下属就知道了经理3个女儿的年龄。请问三个女儿的年龄分别是多少?为什么?

  题目也可能变为:两个俄国数学家在飞机相遇。伊凡问:如果我没有记错的话,你有3个儿子,他们都多大了?艾格回答:他们的年龄乘积是36,年龄之和是今天的日期。伊凡思考了一分钟后,说:可是你并没有告诉我你儿子的岁数。艾格说:忘了告诉你,我小儿子的头发是红色的。伊凡回答:那就很清楚了,我知道你儿子的岁数了。伊凡是怎么知道艾格儿子们的岁数的?

  这道题也很经典,难度不算太大,经常改头换面地出现在各类趣味数学书本中。因为解题过程不需要高深的数学知识,只涉及简单的加数拆分和因素分解,但要求缜密的逻辑性和足够的耐心。

  我们把这些都列成表。在女儿猜数中,出现了两个相同的乘积36,导致判断困难,因此可以断定父亲的年龄为36;由于只有一个女儿的头发是黑的,去掉了两个小女儿同为2岁的可能性,结果因此就出来了,女儿的岁数分别是1、6、6。在儿子的猜数中,出现了2个相同的和13,导致了判断困难。由于只有一个儿子的头发是红的,排除了两个儿子同为2岁的可能性,因此结果也是三个儿子分别为1、6、6岁,当天日期为本月的13日。

 

 

和数 女儿1 女儿2 女儿3 乘积
13 1 1 11 11
13 1 2 10 20
13 1 3 9 27
13 1 4 8 32
13 1 5 7 35
13 1 6 6 36
13 2 2 9 36
13 2 3 8 48
13 2 4 7 56
13 2 5 6 60
13 3 3 7 63
13 3 4 6 72
13 3 5 5 75
乘积 儿子1 儿子2 儿子3 和数
36 1 1 36 38
36 1 2 18 21
36 1 3 12 16
36 1 4 9 14
36 1 6 6 13
36 2 2 9 13
36 2 3 6 11
36 3 3 4

10

 

  8、从不知道到知道

  有两个非常好的逻辑学家朋友P和S。他们在猜两个整数x、y.。已知1<x<y<99且x+y<100。P知道x与y的乘积,S知道x与y的和。

  P说:我不知道这两个数。

  S说:我知道你不知道。

  P说:我知道了这两个数。

  S说:我也知道了。

  根据两人的对话,你能判断x与y到底是多少吗?

  这是一道更加经典同时难度更大的趣味数学题,是精品中的精品。我们就来慢慢分析整个思维过程吧。

  首先,两个乘数因子不能是两个不同素数的乘积,不然P就一定能知道两个数是多少。

  我们先列出100以内所有的素数,2,3,5,7,11,13, 17,19,23,29,31,   37,   41,   43,   47,   53,   59,   61,   67,   71,    73,   79,   83,   89,   97。

  我们可以用一个数表列出所有两个素数的和,凡是在表中出现的和都不该是两人要猜测的数的和。

  于是,我们100以内还剩下的和有11、17、23、27、29、35、37、41、47、51、53、57、59、61、65、67、77、79、83、87、89、93、95、97。

  34×17可以直接导出两数之和51、38×19 可以直接导出两数之和57,29×58可以直接导出两数之和87,31×62可以直接导出两数之和93,因此51、57、87、93可以排除。

  由于53×6=106×2会导致两数之和超过100,因此数59、61、65、67、77、79、83、89、95、97也被排除在外。

  剩下的和数的数列就是11、17、23、27、29、35、37、41、47、53。

  我们继续进行。

  此数是11吗?

  因为24=3×8、28=4×7,S知道和为11,却无法断定出P。

  此数是23吗?

  76=4×19,112=16×7, S知道和为23,却无法断定出P。

  同样,可以排除29、35、37、41、47、51和53这些数字和。

  现在轮到17了。

  S=17=2+15,P=2×15=5×6,导出S=11,11在可能的和数之列,被排除。

  S=17=6+11,P=6×11=2×33,导出S=35,35在可能的和数之列,被排除。

  S=17=7+10,P=7×10=2×35,导出S=37,37在可能的和数之列,被排除。

  S=17=8+9,P=8×9=3×24,导出S=27,27在可能的和数之列,被排除。

  现在只剩下S=17=4+13,P=4×13=52=2×26,导出S=28,不在上述的和数之列。

  答案露出水面,这两个数是4和13。

  简单的描述后面,是严谨的逻辑和繁琐筛选过程。出题者一定是真正的数学大师。然而,这道题到底源自何人,我不得而知。 

第二页:练习题及精讲9-15题

来源:本站原创

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