求和问题的解决

　　学校组织看电影了。数学老师让同学们留心观察影剧院的座位排数和每排座位数，并要求算出影剧院共有多少个座位。第二天，同学们先把观察到的情况向老师汇报如下：这个影剧院第一排有２２个座位，每排的后一排都比前一排多２个座位，最后一排有６８个座位，共２４排。老师听后，问：你们算出了这个影剧院共有多少个座位吗？同学们讲出了各自的解答。但，老师对同学们的解答并不满意，因为他们的解答几乎相同———都较繁锁。

　　［问题诠释］

　　要计算共有多少个座位，也就是求这样一列数“２２，２４，２６，２８……６４，６６，６８”之和。若从２２开始一个接一个相加求和，就显得繁锁，但仔细分析这列数，它有一个明显的特点：从第二个数起，后一个数减去前一个数的差都是２，根据这列数的排列特点，在求它们的和时，应用加法交换律和结合律，容易发现：２２＋６８＝２４＋６６＝２６＋６４＝２８＋６２＝……＝９０，即第一个数加最后一个数，第二个数加倒数第二个数，第三个数加倒数第三个数，……，和都等于９０。这２４个数相加，有多少个９０呢？很显然有１２个。所以２２＋２４＋２６＋……＋６４＋６６＋６８＝９０×１２＝１０８０就是说，利用这种方法计算，很快就能知道这个影剧院共有１０８０个座位。

　　［建立模式］

　　上述一列数中，第一个数称为首项，第二个数称为第二项，依此类推，最后一个数称为末项，这列数一共有２４项。如果一列数，从第二项起，每一项减去它前面一项的差都等于同一个定数（这一个定数叫做公差），那么，这样一列数的和，可以用“（首项＋末项）×项数÷公差”来求出，且计算简洁准确。

　　［问题解决］

　　１．小明为测量一座高楼的高度，他站在高楼的顶上，让一物体从他的脚边自由掉下，后测得物体第一秒钟落下４．９米，以后每秒多落下９．８米，经过１０秒钟到达地面。这座高楼共有多高？分析：根据题意，可知

　　第一秒落下：４．９＝４．９＋９．８×（１－１）

　　第二秒落下：４．９＋９．８＝４．９＋９．８×（２－１）

　　第三秒落下：４．９＋９．８＋９．８＝４．９＋９．８×（３－１）

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　　第１０秒落下：４．９＋９．８×（１０－１）＝９３．１

　　所以，这座楼的高为（４．９＋９３．１）×１０÷２＝４９０（米）

　　２．某体育馆的一个侧看台，第一排有３２个座位，后面的每一排都比前一排多２个座位，最后一排是８８个座位，正常情况下，这侧看台可容纳多少人观看节目？

　　简析：根据“项数＝（末项－首项）÷公差＋１”，可求出座位排数为（８８－３２）÷２＋１＝２９（排），这侧看台的座位数为（３２＋８８）×２９÷２＝１７４０（个），因此，正常情况，这侧看台可容纳１７４０人观看节目。

　　３．小张来到招聘信息中心，想找一个能展示自己特长的理想工作，只见招聘广告琳琅满目，最后他认为这样两家公司能充分发挥自己的才能，这两家公司的招聘广告如下：

　　甲公司凡前来应聘者，一旦应聘，均签订一年的工作合同，在这一年中，月固定工资为７５０元……

　　乙公司凡前来应聘者，一旦应聘，均签订一年的工作合同。在这一年中，第一个月工资为４００元，若工作表现好，从第二个月起，每月工资都在前一个月的基础上，上浮５０元……

　　小张想，两家公司均为一年合同，在这一年中，究竟到哪家公司工作的总收入高呢？

　　分析（略），答案：到甲公司的总收入高。

　　［问题情景］

　　今年，张大伯家的早稻又丰收了。这不，今天他又晒了１２袋稻谷，准备去交公粮。这１２袋的重量分别是（单位：千克）：４５，４８．５，４５，４３．５，４７，４４．５，５０，４２，４７．５，４９．５，４８，４３。你能否很快算出这些稻谷的总重量吗？

　　［问题诠释］

　　求１２袋稻谷的总重量，当然可以将每袋的重量逐个相加起来。但是，有没有简便的算法呢？仔细观察这１２袋的重量数，最轻的为４２千克，最重的为５０千克，而且都在４６千克上下波动。重于４６千克的有６袋，轻于４６千克的也有６袋。所以，可选取４６千克为基准数，重于４６千克的６袋，每袋超过的千克数之和是２．５＋１＋４＋１．５＋３．５＋２＝１４．５（千克）；轻于４６千克的６袋，每袋不足的千克数之和是１＋１＋２．５＋１．５＋４＋３＝１３（千克）。因此，１２袋的总重量为：４６×１２＋１４．５－１３＝５５２＋１．５＝５５３．５（千克）

　　［建立模式］

　　求一组彼此比较接近的数的和时，可选取其中一个数为基准数。如果大于基准数的那些数，每个数减去基准数，所得差相加的结果用Ｓ超表示；小于基准数的那些数，用基准数分别去减这每一个数，所得差相加的结果用Ｓ不足表示，那么这组数的总和＝基准数×加数的个数＋Ｓ超－Ｓ不足

　　［问题解决］

　　１．学校六一文艺汇演，由１０位评委给每个节目打分，并规定：去掉其中的一个最高分和一个最低分，将其余分数作为该节目的得分。四（１）班表演了一个小品节目，１０位评委分别给这个节目的打分是９．５，９．６，９．３，９．７，９．４，９．１，９．７，９．５，９．２，９．６，这个节目的总得分是多少？

　　分析：去掉一个最高分９．７分和一个最低分９．１分后，该节目的总得分是（以９分为基准数：９×８＋（０．５＋０．６＋０．３＋０．４＋０．７＋０．５＋０．２＋０．６）＝７２＋３．８＝７５．８（分）

　　２．水果店运进８筐苹果，每筐苹果的重量如下（单位：千克）：５２，５０．５，５０，４８，５１．５，４９．５，４８，５２．５。（１）当你看完每筐苹果的重量后，能立刻估算出８筐苹果的总重量吗？（２）平均每筐的重量是多少？

　　分析：（１）观察这些数据，都在５０上下，据此可估算出８筐苹果的总重量约为：５０×８＝４００（千克）。

　　以５０千克为基准数，平均每筐的重量为：５０＋〔（２＋０．５＋０＋１．５＋２．５）－（２＋０．５＋２）〕÷８＝５０．２５（千克）。