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计数问题之递推法例题讲解3

2010-06-29 13:54:34      下载试卷

  例题: 2000个学生排成一行,依次从左到右编上1~2000号,然后从左到右按一、二报数,报一的离开队伍,剩下的人继续按一、二报数,报一的离开队伍,…… 按这个规律如此下去,直至当队伍只剩下一人为止。问:这时一共报了多少次?最后留下的这个人原来的号码是多少?

  分析与解答:

  难的不会想简单的,数大的不会想数小的。我们先从这2000名同学中选出20人代替2000人进行分析,试着找出规律,然后再用这个规律来解题。

  这20人第一次报数后共留下10人,因为20÷2=10 ,这10人开始时的编号依次是:2、4、6、8、10、12、14、16、18、20,都是2的倍数。

  第二次报数后共留下5人,因为10÷2=5 ,这5人开始时的编号依次是: 4、8、12、16、20,都是4的倍数,也就是2×2的倍数。

  第三次报数后共留下2人,因为5÷2=2 ……1 ,这2人开始时的编号依次是: 8、16,都是8的倍数,也就是2×2×2的倍数。

  第四次报数后共留下1人,因为2÷2=1 ,这1人开始时的编号是:16,都是8的倍数,也就是2×2×2×2的倍数。

  由此可以发现,第n次报数后,留下的人的编号就是n个2的连乘积,这是一个规律。

  2000名同学,报几次数后才能只留下一个同学呢?

  第一次:2000÷2=1000       第二次:1000÷2=500

  第三次:500÷2=250         第四次:250÷2=125

  第五次:125÷2=62 ……1    第六次:62÷2=31

  第七次:31÷2=15 ……1     第八次:15÷2=7 ……1

  第九次:7÷2=3 ……1       第十次:3÷2=1 ……1

  所以共需报10次数。

  那么,最后留下的同学在一开始时的编号应是:

  2×2×2×…×2=1024(号)

来源:奥数网整理

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