测望术和重差理论

　　刘徽证明和所用的图都已经失传，但是据现存《日高说》和残图以及其他佐证，原证当大致如下：

　　由出入相补原理，得

　　□JG＝□GB， （1）

　　□KE＝□EB， （2）

　　相减得

　　□JG－□KE＝□GD，

　　所以

　　（FI－DH）×AC＝ED×DF，

　　即 表目距的差×（岛高－表高）＝表高×表距。

　　这就得到上述公式。

　　按《海岛》共九题都属测望之类，所得公式分母上都有两测的差，“重差”这一名称可能由此而来。其余八题公式都可依出入相补原理用和上面类似的方法证明，现在从略。

　　元朱世杰《四元玉鉴》中有和《海岛》完全类似的几个题，朱世杰对这些题的解法应该有古代相传下来的一定来历。依据朱对海岛一题的解法，我们认为原证比上面所示的可能稍复杂一些。如下页的图，现在重作证明如下:

　　由出入相补原理，除（1）、（2）外又有

　　□PG＝□GD， （3）

　　由（1）、（2）、（3）得

　　□IN＝□EB＝□KE

　　所以 MI＝DH， （4）

　　FM＝FI－MI＝FI－DH＝表目距的差。

　　由（3）式就得到海岛公式。

　　如果依照欧几里得几何体系的习惯证法，那就自然应该添一平行线GM＇‖AH，如下图，再利用相似三角形和比例理论作证。清代李璜以及近代中外数学史家大都依这一方法补作海岛公式的证明，这当然不是刘徽的原意，也和我国古代几何的传统相违背。注意作平行线的时候应有FM＇＝DH，和前面（4）式相比，M和 M＇的位置完全不同。

　　明末耶稣会传教士利玛窦（1552—1610）来我国，他的主要学术工作之一是介绍欧几里得几何体系。他曾口授《测量法义》一书，其中载有和海岛题完全类似的一题。在他所作的证明中，需要在FI上取一点M使（4）式成立，再用比例理论作证，见本页上图。按常理来说，利玛窦应该作平行线而取M＇使FM＇＝DH，但是他一反欧几里得惯例而和我国古代传统不谋而合，颇使人迷惑不解。现在提出这一问题，希望大家共同探讨。