小学数学知识问答300例—用“公倍数法”解“孙子问题”

　　180.怎样用“公倍数法”解“孙子问题”？

　　我国古代的《孙子算经》里，曾提出了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”

　　翻译成现代语言就是：“现在有许多物品不知道是多少，三个三个地数余二个，五个五个地数余三个，七个七个地数余二个，问这些物品有多少个？”这个问题通常叫做“孙子定理”或“孙子问题”，它的解法很早就流传到国外，被称为“中国剩余定理”。

　　用公倍数法解这道题的思路是这样的：先考虑第一个条件，并使其余数为1，从第二、三个条件入手，5和7的公倍数是35，但35÷3的余数为 2，不是 1，而 35×2= 70， 70÷3的余数正好是1，也就是说：能被5、7整除，而被3除余1的数是70。

　　再考虑第二个条件，也使其余数为1，从第一、三条件入手，3和7的公倍数是21，21÷5的余数正好是1，这说明：能被3和7整除，而被5除余1的数是21。

　　然后考虑第三个条件，从第一、二条件入手，使其余数也是1， 3和5的公倍数是15，15÷7的余数也恰是1，这说明：能被3和5整除，而被7除余1的数是15。

　　因此，被5和7整除，而被3除余2的数是70×2=140；被3和7整除，而被5除余 3的数是： 21×3=63；被 3和 5整除，而被7除余2的数是15×2=30。把满足三个条件的数加起来，所得的和必然是具备被3除余2，被5除余3，被7除余2的特点。

　　140＋63＋30=233，这个结果是正确的，但不是唯一的，因为除数3、5、7的最小公倍数是105，233加上或减去若干个105，所得的结果仍然能满足题目中的全部条件。但减105时，在正整数范围内，差小于105就可以了。

　　如果原题最后一问加上“最少”两个字，即：“最少为几何？”则：233-105-105=23。这个23是满足题目条件的最小的一个数。

　　这个问题的解法，在明朝程大位《算法统宗》里，有如下歌诀：

　　三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，

　　七子团圆正半月，除百零五便得知。

　　这个歌诀所说的计算步骤，与前面叙述过程一样，列出算式为：

　　2×70+3×21+2×15=233

　　233-105-105=23

　　检验：23÷3=7……2 23÷5=4……3

　　23÷7=3……2w