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小升初数学整数问题3

2009-08-27 15:11:08      下载试卷

5.3  余数

 

  在整数除法运算中,除了前面说过的“能整除”情形外,更多的是不能整除的情形,例如 95÷3, 48÷5.不能整除就产生了余数.通常的表示是:

 

  65÷3=21…… 2, 38÷5=7…… 3.

 

  上面两个算式中2和3就是余数,写成文字是

 

  被除数÷除数=商……余数.

 

  上面两个算式可以写成

 

  65=3×21+2, 38=5×7+3.

 

  也就是

被除数=除数×商+余数.

 

  通常把这一算式称为带余除式,它使我们容易从“余数”出发去考虑问题,这正是某些整数问题所需要的.

 

  特别要提请注意:在带余除式中,余数总是比除数小,这一事实,解题时常作为依据.

  例17 5397被一个质数除,所得余数是15.求这个质数.

 

  解:这个质数能整除

  5397-15=5382,

 

  而 5382=2×31997×13×23.

 

  因为除数要比余数15大,除数又是质数,所以它只能是23.

 

  当被除数较大时,求余数的一个简便方法是从被除数中逐次去掉除数的整数倍,从而得到余数.

 

  例18 求645763除以7的余数.

 

  解:可以先去掉7的倍数630000余15763,再去掉14000还余下 1763,再去掉1400余下363,再去掉350余13,最后得出余数是6.这个过程可简单地记成

 

  645763→15763→1763→363→13→6.

 

  如果你演算能力强,上面过程可以更简单地写成:

 

  645763→15000→1000→6.

 

  带余除法可以得出下面很有用的结论:

 

  如果两个数被同一个除数除余数相同,那么这两个数之差就能被那个除数整除.

 

  例19 有一个大于1的整数,它除967,1000,2001得到相同的余数,那么这个整数是多少?

 

  解:由上面的结论,所求整数应能整除 967,1000,2001的两两之差,即

 

  1000-967=33=3×11,

  2001-1000=1001=7×11×13,

  2001-967=1034=2×11×47.

  这个整数是这三个差的公约数11.

 

  请注意,我们不必求出三个差,只要求出其中两个就够了.因为另一个差总可以由这两个差得到.

 

  例如,求出差1000-967与2001-1000,

  那么差

  2001-967=(2001-1000)+(1000-967)

  =1001+33

  =1034.

 

  从带余除式,还可以得出下面结论:

 

  甲、乙两数,如果被同一除数来除,得到两个余数,那么甲、乙两数之和被这个除数除,它的余数就是两个余数之和被这个除数除所得的余数.

 

  例如,57被13除余5,152被13除余9,那么57+152=209被13除,余数是5+9=14被13除的余数1.

 

  例20 有一串数排成一行,其中第一个数是15,第二个数是40,从第三个数起,每个数恰好是前面两个数的和,问这串数中,第1998个数被3除的余数是多少?

 

  解:我们可以按照题目的条件把这串数写出来,再看每一个数被3除的余数有什么规律,但这样做太麻烦.根据上面说到的结论,可以采取下面的做法,从第三个数起,把前两个数被3除所得的余数相加,然后除以3,就得到这个数被3除的余数,这样就很容易算出前十个数被3除的余数,列表如下:

 

  从表中可以看出,第九、第十两数被3除的余数与第一、第二两个数被3除的余数相同.因此这一串数被3除的余数,每八个循环一次,因为

 

  1998= 8×249+ 6,

 

  所以,第1998个数被3除的余数,应与第六个数被3除的余数一样,也就是2.

 

  一些有规律的数,常常会循环地出现.我们的计算方法,就是循环制.计算钟点是

 

  1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.

 

  这十二个数构成一个循环.

 

  按照七天一轮计算天数是

 

  日,一,二,三,四,五,六.

 

  这也是一个循环,相当于一些连续自然数被7除的余数

 

  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

 

  的循环.用循环制计算时间:钟表、星期、月、四季,说明人们很早就发现循环现象.用数来反映循环现象也是很自然的事.

 

  循环现象,我们还称作具有“周期性”,12个数的循环,就说周期是12,7个数的循环,就说周期是7.例20中余数的周期是8.研究数的循环,发现周期性和确定周期,是很有趣的事.

 

  下面我们再举出两个余数出现循环现象的例子.在讲述例题之前,再讲一个从带余除式得出的结论:

 

  甲、乙两数被同一除数来除,得到两个余数.那么甲、乙两数的积被这个除数除,它的余数就是两个余数的积,被这个除数除所得的余数.

 

  例如,37被11除余4,27被11除余5,37×27=999被 11除的余数是 4×5=20被 11除后的余数 9.

 

  1997=7×285+2,就知道1997×1997被7除的余数是2×2=4.

 

  例 21 191997被7除余几?

 

  解:从上面的结论知道,191997被7除的余数与21997被7除的余数相同.我们只要考虑一些2的连乘,被7除的余数.

 

  先写出一列数

 

  2,2×2=4,2×2×2 =8,

 

  2×2×2×2=16,….

 

  然后逐个用7去除,列一张表,看看有什么规律.列表如下:

 

  事实上,只要用前一个数被7除的余数,乘以2,再被7除,就可以得到后一个数被7除的余数.(为什么?请想一想.)

  从表中可以看出,第四个数与第一个数的余数相同,都是2.根据上面对余数的计算,就知道,第五个数与第二个数余数相同,……因此,余数是每隔3个数循环一轮.循环的周期是3.

  1997= 3× 665 + 2.

  就知道21997被7除的余数,与21997 被 7除的余数相同,这个余数是4.

 

  再看一个稍复杂的例子.

 

  例22 70个数排成一行,除了两头的两个数以外,每个数的三倍都恰好等于它两边两个数的和.这一行最左边的几个数是这样的:

 

  0,1,3,8,21,55,….

 

  问:最右边一个数(第70个数)被6除余几?

 

  解:首先要注意到,从第三个数起,每一个数都恰好等于前一个数的3倍减去再前一个数:

  3=1×3-0,

  8=3×3-1,

  21=8×3-3,

  55=21×3-8,

  ……

 

  不过,真的要一个一个地算下去,然后逐个被6去除,那就太麻烦了.能否从前面的余数,算出后面的余数呢?能!同算出这一行数的办法一样(为什么?),从第三个数起,余数的计算办法如下:

 

  将前一个数的余数乘3,减去再前一个数的余数,然后被6除,所得余数即是.

 

  用这个办法,可以逐个算出余数,列表如下:

 

  注意,在算第八个数的余数时,要出现0×3-1这在小学数学范围不允许,因为我们求被6除的余数,所以我们可以 0×3加6再来减 1.

 

  从表中可以看出,第十三、第十四个数的余数,与第一、第二个数的余数对应相同,就知道余数的循环周期是12.

 

  70 =12×5+10.

 

  因此,第七十个数被6除的余数,与第十个数的余数相同,也就是4.

 

  在一千多年前的《孙子算经》中,有这样一道算术题:

 

  “今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”按照今天的话来说:

 

  一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求这个数.

 

  这样的问题,也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题,也就是初等数论中解同余式.这类问题的有解条件和解的方法被称为“中国剩余定理”,这是由中国人首先提出的.目前许多小学数学的课外读物都喜欢讲这类问题,但是它的一般解法决不是小学生能弄明白的.这里,我们通过两个例题,对较小的数,介绍一种通俗解法.

 

  例23 有一个数,除以3余2,除以4余1,问这个数除以12余几?

 

  解:除以3余2的数有:

  2, 5, 8, 11,14, 17, 20, 23….

  它们除以12的余数是:

  2,5,8,11,2,5,8,11,….

  除以4余1的数有:

  1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29,….

  它们除以12的余数是:

  1, 5, 9, 1, 5, 9,….

  一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中,只有5是共同的,因此这个数除以12的余数是5.

 

  上面解法中,我们逐个列出被3除余2的整数,又逐个列出被4除余1的整数,然后逐个考虑被12除的余数,找出两者共同的余数,就是被12除的余数.这样的列举的办法,在考虑的数不大时,是很有用的,也是同学们最容易接受的.

 

  如果我们把例23的问题改变一下,不求被12除的余数,而是求这个数.很明显,满足条件的数是很多的,它是

 

  5+ 12×整数,

 

  整数可以取0,1,2,…,无穷无尽.事实上,我们首先找出5后,注意到12是3与4的最小公倍数,再加上12的整数倍,就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2,除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件,我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并,就可找到答案.

 

  例24 一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求符合条件的最小数.

 

  解:先列出除以3余2的数:

  2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26,…,

  再列出除以5余3的数:

  3, 8, 13, 18, 23, 28,….

 

  这两列数中,首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是

  8+15×整数,

 

  列出这一串数是

  8, 23, 38,…,

  再列出除以7余2的数

  2, 9, 16, 23, 30,…,

  就得出符合题目条件的最小数是23.

 

  事实上,我们已把题目中三个条件合并成一个:被105除余23.

 

  最后再看一个例子.

 

  例25 在100至200之间,有三个连续的自然数,其中最小的能被3整除,中间的能被5整除,最大的能被7整除,写出这样的三个连续自然数.

 

  解:先找出两个连续自然数,第一个能被3整除,第二个能被5整除(又是被3除余1).例如,找出9和10,下一个连续的自然数是11.

 

  3和5的最小公倍数是15,考虑11加15的整数倍,使加得的数能被7整除.11+15×3=56能被7整除,那么54,55,56这三个连续自然数,依次分别能被3,5,7整除.

 

  为了满足“在100至200之间”将54,55,56分别加上3,5,7的最小公倍数105.所求三数是

  159, 160, 161.

  注意,本题实际上是:求一个数(100~200之间),它被3整除,被5除余4,被7除余5.请考虑,本题解法与例24解法有哪些相同之处?

来源:网络

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