5.2 分解质因数
一个整数，它的约数只有1和它本身，就称为质数（也叫素数）.例如，2，5，7，101，….一个整数除1和它本身外，还有其他约数，就称为合数.例如，4，12，99，501，….1不是质数，也不是合数.也可以换一种说法，恰好只有两个约数的整数是质数，至少有3个约数的整数是合数，1只有一个约数，也就是它本身.
质数中只有一个偶数，就是2，其他质数都是奇数.但是奇数不一定是质数，例如，15，33，….
例9 ○＋（□+△）=209.
在○、□、△中各填一个质数，使上面算式成立.
解：209可以写成两个质数的乘积，即
209＝11×19.
不论○中填11或19，□+△一定是奇数，那么□与△是一个奇数一个偶数，偶质数只有2，不妨假定△内填2.当○填19，□要填9，9不是质数，因此○填11，而□填17.
这个算式是 11×（17＋2）＝209，
11×（2＋17）＝ 209.
解例9的首要一步是把209分解成两个质数的乘积.把一个整数分解成若干个整数的乘积，特别是一些质数的乘积，是解决整数问题的一种常用方法，这也是这一节所讲述的主要内容.
一个整数的因数中，为质数的因数叫做这个整数的质因数，例如，2，3，7，都是42的质因数，6，14也是42的因数，但不是质因数.
任何一个合数，如果不考虑因数的顺序，都可以唯一地表示成质因数乘积的形式，例如
360＝2×2×2×3×3×5.
还可以写成360＝23×32×5.
这里23表示3个2相乘，32表示2个3相乘.在23中，3称为2的指数，读作2的3次方，在32中，2称为3的指数，读作3的2次方.
例10 有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄的乘积是5040，那么，他们的年龄各是多少？
解：我们先把5040分解质因数
5040＝24×32×5×7.
再把这些质因数凑成四个连续自然数的乘积：
24×32×5×7＝7×8×9×10.
所以，这四名学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁和10岁.
利用合数的质因数分解式，不难求出该数的约数个数（包括1和它本身）.为寻求一般方法，先看一个简单的例子.
我们知道24的约数有8个：1，2，3，4，6，8，12，24.对于较大的数，如果一个一个地去找它的约数，将是很麻烦的事.
因为24＝23×3，所以24的约数是23的约数（1，2，22，23）与3的约数（1，3）之间的两两乘积.
1×1，1×3，2×1，2×3，22×1，22×3，23×1，23×3.
这里有4×2＝8个，即 （3＋1）×（1＋1）个，即对于24＝23×3中的23，有（3＋1）种选择：1，2，22，23，对于3有（1＋1）种选择.因此共有（3＋1）×（1＋1）种选择.
这个方法，可以运用到一般情形，例如，
144＝24×32.
因此144的约数个数是（4＋1）×（2+1）＝15（个）.
例11 在100至150之间，找出约数个数是8的所有整数.
解：有8＝7＋1； 8＝（3＋1）×（1＋1）两种情况.
（1）27＝128，符合要求，
37＞150，所以不再有其他7次方的数符合要求.
（2）23＝8，
8×13＝104， 8×17＝136，符合要求.
33＝27；
只有27×5＝135符合要求.
53＝135，它乘以任何质数都大于150，因此共有4个数合要求：128，104，135，136.
利用质因数的分解可以求出若干个整数的最大公约数和最小公倍数.先把它们各自进行质因数分解，例如
720＝24×32×5，168＝23×3×7.
那么每个公共质因数的最低指数次方的乘积就是最大公约数，上面两个整数都含有质因数2，较低指数次方是23，类似地都含有3，因此720与168的最大公约数是
23×3＝ 24.
在求最小公倍数时，很明显每个质因数的最高指数次方的乘积是最小公倍数.请注意720中有5，而168中无5，可以认为较高指数次方是51=5.720与168的最小公倍数是
24×32×5×7＝5040.
例12 两个数的最小公倍数是180，最大公约数是30，已知其中一个数是90，另一个数是多少？
解：180＝22×32×5，
30＝2×3×5.
对同一质因数来说，最小公倍数是在两数中取次数较高的，而最大公约数是在两数中取次数较低的，从22与2就知道，一数中含22，另一数中含2；从32与3就知道，一数中含32，另一数中含3，从一数是
90＝2×32×5.
就知道另一数是
22×3×5＝60.
还有一种解法：
另一数一定是最大公约数30的整数倍，也就是在下面这些数中去找
30， 60， 90， 120，….
这就需要逐一检验，与90的最小公倍数是否是180，最大公约数是否是30.现在碰巧第二个数60就是.逐一去检验，有时会较费力.
例13 有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是420.如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？
解：把420分解质因数
420＝2×2×3×5×7.
为了保证分子、分母不能约分（否则约分后，分子与分母的乘积不再是420了），相同质因数（上面分解中的2），要么都在分子，要么都在分母，并且分子应小于分母.分子从小到大排列是
1，3，4，5，7，12，15，20.
分子再大就要超过分母了，它们相应的分数是
两个整数，如果它们的最大公约数是1.就称这两个数是互质的.
例13实质上是把420分解成两个互质的整数.
利用质因数分解，把一个整数分解成若干个整数的乘积，是非常基本又是很有用的方法，再举三个例题.
例14 将8个数6，24，45，65，77，78，105，110分成两组，每组4个数，并且每组4个数的乘积相等，请写出一种分组.
解：要想每组4个数的乘积相等，就要让每组的质因数一样，并且相同质因数的个数也一样才行.把8个数分解质因数.
6＝2×3， 24＝23×3，
45＝32×5， 65＝5×13，
77＝7×11， 78＝2×3×13，
105＝3×5×7， 110＝2×5×11.
先放指数最高的质因数，把24放在第一组，为了使第二组里也有三个2的因子，必须把6，78，110放在第二组中，为了平衡质因数11和13，必须把77和65放在第一组中.看质因数7，105应放在第二组中，45放在第一组中，得到
第一组：24，65，77，45.
第二组：6，78，110，105.
在讲述下一例题之前，先介绍一个数学名词--完全平方数.
一个整数，可以分解成相同的两个整数的乘积，就称为完全平方数.
例如：4＝2×2， 9＝3×3， 144＝12×12， 625＝25×25.4，9，144，625都是完全平方数.
一个完全平方数写出质因数分解后，每一个质因数的次数，一定是偶数.
例如：144＝32×42， 100＝22×52，…
例15 甲数有9个约数，乙数有10个约数，甲、乙两数最小公倍数是2800，那么甲数和乙数分别是多少？
解：一个整数被它的约数除后，所得的商也是它的约数，这样的两个约数可以配成一对.只有配成对的两个约数相同时，也就是这个数是完全平方数时，它的约数的个数才会是奇数.因此，甲数是一个完全平方数.
2800＝24×52×7.
在它含有的约数中是完全平方数，只有
1，22，24，52，22×52，24×52.
在这6个数中只有22×52＝100，它的约数是（2＋1）×（2+1）＝9（个）.
2800是甲、乙两数的最小公倍数，上面已算出甲数是100＝22×52，因此乙数至少要含有24和7，而24×7＝112恰好有（4+1）×（1＋1）＝10（个）约数，从而乙数就是112.
综合起来，甲数是100，乙数是112.
例16 小明买红蓝两种笔各1支共用了17元.两种笔的单价都是整元，并且红笔比蓝笔贵.小强打算用35元来买这两种笔（也允许只买其中一种），可是他无论怎么买都不能把35元恰好用完，问红笔、蓝笔每支各多少元？
解：35＝5×7.红、蓝的单价不能是5元或7元（否则能把35元恰好用完），也不能是17-5＝12（元）和17-7＝10（元），否则另一种笔1支是5元或7元.
记住：对笔价来说，已排除了5，7，10，12这四个数.
笔价不能是35-17=18（元）的约数.如果笔价是18的约数，就能把18元恰好都买成笔，再把17元买两种笔各一支，这样就把35元恰好用完了.因此笔价不能是18的约数：1，2，3，6，9.
当然也不能是17-1＝16，17-2＝15，17-3＝14，17-6＝11， 17-9＝8.现在笔价又排除了：
1，2，3，6，8，9，11，14，15，16.
综合两次排除，只有4与13未被排除，而4＋13＝17，就知道红笔每支 13元，蓝笔每支 4元.
