欧几里得公理与公设

　　被称为古希腊三大数学家之一的欧几里得，其最伟大的功绩就是写出了不朽的《几何原本》。长久以来，数学家们之所以对这本书评价如此之高，就是因为这本书第一次把数学用公理的形式表现出来。

　　所谓公理或公设，指的是某门学科中不需要证明而必须加以承认的某些陈述或命题，即“不证自明”的命题。一门学科如果被表示成公理的形式，那么它的所有命题就可以由这些公理或公设逻辑地推证出来。如果我们把一门学科比作一幢大楼，那么该学科的公理或公设就像大楼的地基，整幢大楼必须以它为基础而建立起来。

　　《几何原本》的影响十分深远，它已经成了数学证明中的一个典范。它所建立起的公理的方法，今天几乎已经渗透到数学的每一个领域。在这本书中，欧几里得精心选择了5个公里、5个公设，然后在此基础上一步一步推导出几何学中的其他命题。

　　然而，后来人们在研究《几何原本》的过程中，欧几里得的第五个公设引起了人们的注意，那条公设是：

　　如果同一平面内一直线同另外两条直线相交，同一侧的两内角之和小于两直角，则两直线无限延长时，必在这一侧相交。

　　这条公设与另外4条相比，显得叙述复杂，而且根本没有“自明”的特征。事实上，它是《几何原本》中命题17的逆命题。它看起来更像一个定理而不像公设。欧几里得本人似乎也在极力避免使用这条公设，直到命题29的证明中才使用到它。于是，数学家们开始猜测，这条公设是否真的必要？能不能从其他的九个公理和公设中把它推导出来？为此，数学家们忙碌了两千多年！在这个过程中，人们找到了这条公设的许多等价命题。比如，在中学课本中我们所了解的“过直线外一已知点能作一条且只能作一条直线平行于已知直线”，“任何一个三角形内角之和为两个直角”等等。但是，人们最没能证明第五公设，人们给出的许多“证明”，都被发明其中隐含承认了它的某个等价命题。

　　尽管人们的尝试失败了——事实证明他们也必然要失败，数学家们却由此而建立了两种全新的几何学，即非欧几何！

　　建立非欧几何的荣誉，应该由高斯（Gauss,1777~1855）、鲍耶（Bolyai,1802~1860）和罗巴切夫斯基（Lobacevskil,1792~1856）三人共同分享。不过在介绍他们的工作之前，我们先来看在这方面曾作过努力和贡献的几位数学家。

　　首先要提到的是意大利耶稣会士和帕维亚大学的教授萨谢利（Saccheri,1667~1733）。他研究了一个四边形ABCD（如图1），∠A和∠B是直角，AD=BC。他证明了∠D=∠C，那么这两个角的大小只有三种可能：钝角、直角或锐角，萨谢利称之为钝角和锐角假定和锐角假定。他希望证明钝角和锐角假定是错误的，那么余下的直角假定就是第五公设的等价形式！萨谢利隐含的假定的矛盾性，但对于锐角假定，逻辑事实使他左右为难，最后毫无说服力地硬塞进一个“矛盾”。如果他不是那样迫不及待地塞进一个所谓“矛盾”，而是大胆地承认自己找不到矛盾，那么非欧几何的发现无疑应该归功于萨谢利。非欧几何已经碰到了他的鼻尖上，但他让它溜走了。

　　33年之后，法国数学家兰伯特（Lambert,1728~1777）也作了类似的研究，并写出了一本《平行线论》。他研究的则是有三个直角地四边形，讨论第四角的情况，同样也有相应三种假定。他也默认了直线是无限长这一假设，而否定了钝角假定，但他注意到了钝角假定的一些结论适合球面图形。在锐角假定的问题上，他比萨谢利走得更远，当他在锐角假定下得不到矛盾时，他没有轻易否定这个假设，而是猜测锐角假定推出的几何也许能在虚半径的球上被证实，这一点他猜对了！

　　兰伯特是第一位怀疑第五公设可证性的人，但他最终还是没有跳出前人的框框，而与非欧几何失之交臂。

　　对此作出卓越贡献的第三人是法国著名数学家勒让德。他曾译过《几何原本》，著有《几何原理》，并且多次给出了第五公设的“证明”。他考虑三角形的内角和分别大于、小于和等于两个直角的三个假定，恰好对应于萨谢利的三个假设。他也在锐角假定下走了很远，但他最终的证明也非常隐蔽地包含了一个第五公设的等价形式。

　　实际上，第五公设是不可证明的，它是独立于其他假设的！以锐角假定为基础而推出的几何和以直角假定为基础而推出的几何一样，是自身内部不矛盾的。由于两千多年来传统偏见的束缚，要认识到这一点，必须要有非同寻常的勇气和想象力。

　　高斯是真正预见到非欧几何的第一人。他大约在1816年左右就对非欧几何有了比较明确的认识。但高斯十分小心谨慎，没有发表关于此类的任何文章，生怕引起世俗的反对。我们知道他的思想仅仅是通过他与好友间的通信、对别人著作的几份评论，以及他死后从稿纸中发现的几段札记。尽管如此，他却鼓励别人进行这方面的研究，而且，把这种几何称为非欧几何的就是他本人。

　　预见到非欧几何的第二人是J．鲍耶，他是奥地利军队的一名匈牙利军官。他父亲F．鲍耶是高斯的大学同学和朋友。老鲍耶也曾经对第五公设感兴趣，曾经花费了大量的时间研究过它。当他知道自己的儿子也对此着了迷时，曾告诫他不要在这上面耗费时间，因为它们可能“吞没一千个牛顿这样的天才”。但小鲍耶不听劝告，坚持自己的研究，并说：“我要白手起家创造一个奇怪的新世界。”1823年，小鲍耶基本上形成了自己的思想，但当他通过父亲写信向高斯征求意见时，高斯却在回信中说，他不能称赞鲍耶的工作，因为这样做将是称赞他自己在初年以前就开始做的事情。小鲍耶对此十分气恼，认为高斯想抢占他的成果。最后，小鲍耶把他的研究结果写成一本小册子，在1832年作为他父亲一部半哲学性著作的附录发表了。

　　虽然人们承认是高斯和鲍耶最先料想到了非欧几何的存在，但实际上发表该课题第一篇论文的是俄国数学家罗巴切夫斯基。

　　罗巴切夫斯基出生在喀山，他一生中的大部分时间是在喀山大学度过的。他先是当学生，后来任数学教授，最后当上了校长，晚年任喀山教育区督学的助手。他于1816年前后开始研究第五公设，起初他也试图证明它，后来他果断地放弃了这种尝试。他的关于非欧几何的最早论文是于1829年在《喀山通报》上发表的，比鲍耶要早2～3年。他把第五公设改为“过直线外一点可以作两条直线与已知直线平行”，而保持其他公理不变。在此基础上，他构筑了一套完全不同的而自身内部并不矛盾的几何，后来被人们称作“罗巴切夫斯基几何”。他的著作开始并不为人所注意而且得不到学术界的支持，但他仍坚持不懈，一心一意地完善自己的理论。

　　要改变传统的观念去接受一种全新的东西总是那样困难，罗巴切夫斯基和鲍耶的著作在发表后若干年，整个数学界才对此给予更多的注意，几十年后，这一发现的真正内涵才被理解！

　　后来，德国数学家黎曼（Riemann，1826～1866）又修改了第五公设，把球面上的大圆作为直线，那么直线就是无界（或者说无端点）的了，但长度却是有限的。黎曼又修改了其他几条公理以适合球面，又构造了一种球面上的几何学，被称为“黎曼几何”。它也是非欧几何的一种。人类生活在地球上，认识到地球是圆的也有很长的历史，但直到黎曼才发展出一种适合于球面的几何学，这也许是一种反常的现象。

　　非欧几何的发现，是几何学的一次解放，也是数学思想的一次解放。几何学的公设，对数学来说，仅仅是一种假定，并非不证自明，也可说其物理上的真假根本用不着考虑。数学家们可以随心所欲地选取公设，只要它们之间不相互矛盾。数学从一种绝对的真理变成了人类思想的自由创造，而不是受我们自己生活于其中的世界摆布的什么事物，正如康托所说：“数学的本质在于其自由！”