数学探险故事之荒岛历险10（智擒小个子）

罗克和米切尔虽然抓住了黑铁塔，但小个子却拿着珍宝跑了。两个人押解着黑铁塔去见首领乌西。
　　不管你怎样审问，黑铁塔咬紧牙关一言不发。看来，想从黑铁塔嘴里掏出小个子的下落是不可能的。
　　怎么办？
　　乌西仍把捉拿小个子的任务交给了罗克和米切尔。罗克一想，这个任务难以推辞，也就痛快地答应了。
　　罗克和米切尔坐下来，认真研究如何抓住小个子。米切尔说：“乌西已经下令全岛戒严，小个子想现在乘船逃走是不大可能。”
　　罗克点点头说：“你分析得对。由于岛上洞多，小个子可能还藏在某个山洞中。”
　　米切尔皱起眉头说：“岛上大大小小的山洞那么多，要确切知道小个子藏在哪个山洞里是十分困难的！”
　　“小个子总是要喝水的，他必须出来打水。要打水，就会暴露自己。”罗克对此充满信心。
　　米切尔站起来，倒背两手来回踱着步。他说：“海岛这么大，小个子又晚上出来打水，不容易发现哪！”
　　“报告！”从门外跑进一名全副武装的士兵，他向罗克和米切尔报告说：“我在天池值勤，看见小个子从狼牙洞出来，到天池里打了一壶水，一溜小跑跑进了野猪洞。”
　　“狼牙洞？野猪洞？这两个洞在哪儿？”罗克对这个消息十分感兴趣。
　　米切尔在地上画了个示意图说：“A 就是狼牙洞，B 就是野猪洞，以 O为圆心的圆就是天池。天池原来是个死火山口，后来有了水成了一个圆形的湖。”
　　罗克说：“咱俩去这两个洞搜查一下，怎么样？”
　　“不成，不成！”米切尔连连摇头说，“这两个洞的洞口都不止一个，是堵不住他的。”
　　罗克说：“你有什么好办法？”

　　“好办法嘛??”米切尔拍了拍脑袋说，“唉，如果我们能准确地知道小个子打水的地点，就可以把小个子生擒活捉。”
　　“这个问题我能解决。”罗克这么快就表示能解决，使米切尔十分惊讶。
　　米切尔心想真不愧是大数学家呀！提出什么问题立刻就能解出来。
　　罗克要来全岛的地图，又要了一个量角器。他把半圆形量角器的圆心，放在天池的圆周上移动，移动到 P 点，罗克说：“找到了，小个子一定到 P点附近去打水。”
　　米切尔看罗克所做的一切就像变魔术一样，既感到迷惑，又感到有趣。

　　米切尔问：“你怎么用量角器在圆周上一转，就找到小个子的取水点？你怎么知道小个子一定到P点取水呢？”
　　“说来也真凑巧。小个子天池取水和数学上著名的‘古堡朝圣问题’非常相似。我先给你讲一讲‘古堡朝圣问题’吧！”罗克开始讲了起来：
　　有这么个传说，从前有一个虔诚的信徒，他本身是集市上的一个小贩。他每天从家出来，先去圆形古堡朝拜阿波罗神像。古堡是座圣城，阿波罗神像供奉在古堡的圆心O点，而圆周上的点都是供信徒朝拜的顶礼点。

　　这个信徒想，我应该怎样选择顶礼点，才能使从家到顶礼点，然后再到集市的路程最短呢？他百思不得其解。于是他找到古堡里最有学问的祭司请教。据说祭司神通广大，他可以和阿波罗神“对话”。但是，祭司的回答使他失望。
　　祭司回答说：“善良的人哪，快停止无谓的空想吧！你提出的问题连万能的阿波罗神也无能为力。难道你还幻想解决这个问题？这个问题是永远解决不了的！”米切尔听到这儿，长叹了一口气说：“这么说，连太阳之神——阿波罗都解决不了，别人就更没办法了。”
　　“嘻嘻！”罗克笑了起来。他说，“别听祭司瞎说，阿波罗神又不是数学家，他哪会解这类数学题。”
　　“嘘！不许说阿波罗神的坏话，我们神圣部族也是信奉阿波罗神的。”
　　米切尔说完之后，一副十分虔诚的样子，嘴里还咕咕囔囔地小声祷告着什么。
　　“哈哈！”罗克看到米切尔祈祷的样子，越发觉得可笑，笑着说，“其实这个问题，数学家已经解决了。”
　　“解决了？快说给我听听。”米切尔显得十分着急。罗克又画了个图，他指着图说：“如果能在圆周上找到一点P，过点P做圆O的切线MN，使得∠APK=∠BPK，即α=β。小贩沿着A→P→B的路线去走，距离最短，这一点可以证明。”

　　“能够证明？那你就给我证一下。否则，我不信！”米切尔使用了“激将法”。
　　“米切尔，可真有你的！”罗克用力拍了米切尔肩膀一下，接着边画边讲，“我先要给你证明一个预备定理：一条河，河岸的同一侧住着一个小孩和他的外婆。小孩每天上学前要到河边提一桶水送给外婆。他想，到河边哪一点去取水，所走的路程最短””
　　米切尔说：“这个问题和古堡朝圣问题非常类似，不同的是，一个是圆形的水池，一个是直的河流。这个问题的结论又是什么？”

　　罗克指着图说：“如果能在河岸上找到一点P，做PK垂直河岸，使得∠APK=∠BPK，即α=β，P点就是要找的点。”
　　嗯？结论和古堡朝圣的结论也相同！怪事！”米切越琢磨越有趣。
　　“我就来证明AP+PB是符合条件的最短路程。”罗克说，“我在河岸上，除P 点外再随便选一点 P＇，只要能证明 AP＇+P＇B＞AP+PB，就说明 AP+PB是最短距离。

　　“连接AP＇，BP＇。作河岸DE的垂线AA＇交DE于M，取A＇M=AM，连接A＇P＇。
　　“在△A＇BP＇中，由于两边之和大于第三边，可知，A＇P＇+P＇B＞A＇B。
　　“由 AA＇的作法，可知△APA＇为等腰三角形，AP=A＇P。而 A＇B=A＇P+PB=AP+PB，所以有AP＇+P＇B＞AP+PB，而且∠α=∠β。
　　“用类似证明方法，也可以在古堡朝圣问题中证明AP+PB距离最短。”
　　“我基本上明白了。可是，小个子未必知道这件事，他会选择这条最短路径吗？”米切尔还是有点担心。
　　“你放心吧！”罗克安慰说，“小个子的数学相当不错，他不会不知道这个道理的。”
　　“既然这样，我倒有个捉拿小个子的好办法。”米切尔趴在罗克耳朵边嘀咕了好一阵子，罗克高兴地连连点头。两个人简单收拾了一下，悄悄向天池走去。
　　天还是那么黑，天池的周围非常安静。过了一会儿，从野猪洞里探出一个小脑袋，向左右望了望。见四周无人，他手提一把水壶快步跑到天池边弯腰打水。没错，他就是小个子。
　　当小个子刚把水壶放进水里，突然，从水中蹿出一个人来。此人喊了声：“你下来吧！”就把小个子拉下了水。小个子不会游泳，急得大喊救命！水中的人把小个子灌了个半死托上岸来。罗克在岸上拉出小个子，把他捆了起来。水中的人爬上了岸，此人正是米切尔。
　　原来米切尔知道了小个子打水的大概地点，就事先藏在水里，等小个子弯腰打水时，把他拉下了水。
　　活捉了小个子，罗克和米切尔都十分高兴。