趣谈数学符号发展史

　　数学是上帝用来书写宇宙的文字—伽利略

　　符号常常比发明它们的数学家更能推广。—F·克莱茵

　　教学也是一种语言，且是现存的结构与内容方面最完美的语言。……可以说，自然用这个语言讲话超世主已用它说过话，而世界的保护者继续用它讲话。—C·戴尔曼

　　人总想给客观事物赋于某种意义和价值，利用符号认识新事物，研究新问题，从而使客观世界秩序化，这便创造了科学、文化、艺术、……

　　符号就是某种事物的代号，人们总是探索用简单的记号去表现复杂的事物，符号也正是这样产生的。

　　文字是用声音和形象表达事物的符号，一个语种就是一个“符号系统”。这些符号的组合便是语言。

　　人们试图用“精密”的方法研究艺术，这在很大程度上依靠符号，“艺术符号学”这门新兴学科应运而生了，它是美学的一个部分。

　　1961年，苏联数学家科尔莫哥洛夫把统计学分析应用到诗歌语言研究中，把语言中的转换和其他符号学系统中的转换相比较，论述了符号学的一般意义。

　　符号对于数学的发展来讲更是极为重要的，它可使人们摆脱数学自身的抽象与约束，集中精力于主要环节，这在事实上增加了人们的思维能力。没有符号去表示数及其运算，数学的发展是不可想象的。数是科学的语言，符号则是记录、表达这些语言的文字。正如没有文字，语言也难以发展一样。几乎每一个数学分支都是靠一种符号语言而生存，数学符号是贯穿于数学全部的支柱。

　　古代数学的漫长历程、今日数学的飞速发展；十七、十八世纪欧洲数学的兴起、我国几千年数学发展进程的缓慢，这些在某种程度上也都归咎于数学符号的运用得当与否，简练、方便的数学符号对于书写、运算、推理来讲，都是何等方便！反之，没有符号或符号不恰当、不简练，是必影响到数学的推理和演算。

　　然而，数学符号的产生(发明)、使用和流传(传播)却经历了一个十分漫长的过程。这个过程的始终贯穿着自然、和谐与美。

　　古埃及和我国一样，是世界上四大文明古国之一。早在四千多年以前，埃及人已懂得了数学，在数的计算方面还会使用分数，不过他们是用“单位分数”(分子是1的分数)进行运算的。此外，他们还能计算直线形和圆的面积，他们知道了圆周率约为3.16，同时也懂得了棱台和球的体积计算等。可是记数他们却是用下面的符号(这里面多是写真，显然包含着美)进行的：

　　1101001000100001000001000000这样书写和运算起来都不方便，比如要写数2314，就要用符号表示。

　　后来他们把符号作了简化而成为：

　　古代巴比伦人(巴比伦即当今希腊一带地方)计算使用的是六十进制，当然它也有其优点，因为60有约数2、3、4、5、6、10、12、15、30、60等，这样在计算分数时会带来某种方便(现在时间上的小时、分、秒制及角的度制，仍是六十进制)。巴比伦人已经研究了二次方程和某些三次方程的解法。他们在公元前2000年就开始将楔形线条组成的符号(称为楔形文字)刻在泥板上，然后放到烈日下晒干。同样他们也是用楔形文字表示数的(简洁、粗犷)：

　　我国在纸张没有发明以前，已经开始用“算筹”进行记数和运算了。“算筹”是指用来计算用的小竹棍(或木、骨棍)，这也是世界上最早的计算工具。用“算筹”表示数的方法是：

　　记数时个位用纵式，其余位纵横相间，故有“一纵十横，百立千僵”之说。数字中有0时，将其位置空出，比如86021可表示为：

　　甲骨文字中数字是用下面符号表示的(形象、自如)：

　　阿位伯数字未流行以前，我国商业上还通用所谓“苏州码”的记数方法(方便、明快)：

　　它在计数和运算上已带来较大方便。

　　在计数上欧洲人开始使用的是罗马数字：阿拉伯数字据说是印度人发明的，后传入阿拉伯国家，经阿拉伯人改进、使用，因其简便性而传遍整个世界，成为通用的记数符号。

　　我们再来看看代数学的重要内容：“方程”符号产生的历史。

　　在埃及出土的三千六百年前的莱因特纸草上有下面一串符号：

　　它既不是什么绘画艺术，也不是什么装饰图案，它表达的却是一个代数方程式，用今天的符号表示即：宋、元时期我国也开始了相当于现在“方程论”的研究，当时记数仍使用的是“算筹”，在那时出现的数学著作中，就是用右图中的记号来表示二次三项式412x2-x+136的。其中x系数旁边注以“元”字，常数项注以“太”字，筹上画斜线表示“负数”。

　　到了十六世纪，数学家卡当、韦达等人对方程符号有了改进

　　直到笛卡儿(法国数学家)才第一个倡用x、y、z表示未知数，他曾用xxx-9xxx+26x－24∝0

　　表示

　　x3-9x2+26x-24=0，

　　这与现在的方程写法几乎一致。

　　我们还想指出一点：数及其运算只有用符号去表示，才能更加确切和明了。随着数学的发展，随着人们对于数认识的加深，用原有符号去表示新的概念，有时竟会感到无能为力(没有根号如何表示某些无理数？)，这需要创新。

　　圆周率(圆的周长与直径的比)是一个常数，1737年Euler首先倡导用希文π来表示它(早在1600年英国数学家W．Oughtred曾用π作为圆周长的符号)，且通用于全世界。

　　用e表示特殊的无理常数(也是超越数)——欧拉常数：

　　的也是Euler。我们知道要具体写出圆周率或欧拉常数根本不可能(它们

　　，然而用数学符号却可精确地表示它们。

　　年首创的(这也使我们想到：欧拉的成就与他对数学符号的创造不无关系)。

　　(那么奇妙的等式eiπ+1＝0（①在这里若1、0代表算术，i代表代数，π代表几何，超越数e则代表分析学。那么此式将许多数学分支融合到了一起。）中的五个数中的三个书写符号都是出自数学大师Euler之手！)

　　代数学就其某种意义上说是符号形式的运算。关于方程式符号的演变，我们在前面已经阐述，关于其他一些数学符号的产生可见下表：

　　当然数学中还有许多符号，这些符号均有其独特含义，使用它们不仅方便而且简洁，比如“！”号表示阶乘，那么

　　n！＝n×(n-1)×…×2×1，

　　这种符号的进一步使用与推广便是“∏”：

　　与之相应的还有求和号“∑”含义是：

　　有趣的是求和概念的推广—函数求积中积分符号“∫”似乎是“∑”号的拉伸人们也意识到：只有使用不曾为那些含糊观念(如时间、空间、连续性等)所侵占了的符号语言——这些含糊观念起源于直觉，常会妨碍纯粹的推理——我们才有希望把数学建筑在逻辑的稳固基石上。

　　数学符号除了简洁之外，还有另外的意义：形象美。

　　哈密顿算子是一种重要的微分算子：

　　由它作为工具，可导出一系列美妙的结论：

　　gradu)

　　这是一个代表u在空间中最大变化率的大小和方向(它是一个向量)的符号。

　　当它作用于向量场函数：

　　v=v1i+v2j+u3k(vi是x、y、z的函数)

　　这是一个“四元数”，其数量部分称为v的散度(记为divv)，向量部分称为v的旋度(记为rotv)。

　　若用哈密顿算子，v的散度、旋度又分别可表示为：

　　十九世纪末，麦克斯韦的电磁学方程组，其微分形式就是用哈密顿算子表示的，其简洁与美妙自不待言。

　　拉普拉斯方程

　　若用哈密顿算子表示，也是十分漂亮、利落：

　　由上看来，数学符号对于表现数学的简洁性，是何等重要！这就是说：数学符号简化了复杂的数学理论，且通过它可把远离的数学理论巧妙地联系起来。

　　若说+、－、×、÷、……等在数学上不过是一个符号，那么行列式和矩阵记号的出现，则是数学语言上的大胆创新，它的绝妙处已为它在现代数学发展中的作用所显示。

　　行列式概念源于Cauchy，他是在讨论二次型ax2+2bxy+cy2的判别式时而引入的。Lagrange也讨论过某些三阶行列式。