《啊哈!灵机一动》－1776引起的兴致

　　模算术

　　海伦避免冗长的从1数到1976的诀窍是她领悟到这个问题可以通过运用叫作“模算术”或“钟算术”的理论很快得到答案。

　　钟算术模仿了12个数字的有限算术。实际上，在以12为基数的模算术中，12与O是一致的。假定现在是12点整，而且你希望知道100个小时后是几点，这只需要把100被12除，得出的余数就是。余数等于4说明100小时后，钟显示出的时间是4点整。这里与我们有关的只是余数。“100”这个数被认为与“4”等价(以12为模)，只不过意味着100被12除时，余数为4。

　　你明白亨利叔叔的计数方法是怎样与“钟算术”等同的吗？唯一的不同点是中点的三个瓶子每一个代表两个数字，因为它们在两个不同方向被数了两次。“8”数到了开始后的第二个瓶子，然后另一个周期重新开始。因此这个过程显示了一个以8为模的算术过程。

　　海伦只确定了一下1976的等价值(以8为模)。换句话说，把1976用8除后得到的余数是零。在以8为模的算术中，8=0(以8为模)。因此，数到1976一定停在从计数开始时第二个瓶子上。

　　如果亨利叔叔数的数很大时比如12345678987654321，你如果想知道他最后停在哪儿的话，是否一定要用整个数字除以8呢？其实不必。因为1000=0(以8为模)，你只需把最后的3位数，321，用8除一下即可。321被8除后余数是1，这说明12345678987654321=1(以8为模)。所以计数最后一定停在第一个瓶子上。

　　改变瓶子的数量，你可用偶数模设计很多有限算术模型。如果数瓶的方式是通常的从左向右数，那么你就可以以任何奇数或偶数为模，建立一个有限算术模型。

　　“约瑟夫难题”是一个包含物体周期性计数的著名难题，因为它取材于内中主人公叫作约瑟夫的一则古罗马故事。与这个问题相类似的还有很多作品。下面是一个有趣的新编外国故事。

　　从前，一个富有的国王有一个漂亮的女儿，她的名字叫约瑟芬。追求她的小伙子成百上千。最后，除了她选中的10个她最喜欢的人之外，其他人都被排除了。

　　几个月过去了，约瑟芬还没有最后拿定主意。国王生气了，他说：“宝贝，下个月你就17岁了，所有公主都要在到这年龄前结婚是我们的习俗。”

　　她答道：“爸爸，可我还没最后决定我是否最喜欢乔治。”

　　“即然如此，今天我们只好通过惯例来解决这个问题。”

　　接着，国王解释了一下这古老仪式的进行方式。他说：“10个人站成一个圆周，你可以挑选任何一个你喜欢的人作为1，然后你开始顺圆圈按顺时针方向数数，数到你的年龄――17为止，第十七个人必须退出这个圈。我们给他100金币做补偿，送他回家。”

　　“他走后，你再从1数到17。这次从已退出那人的下一位数起，当数到17时，第十七个人像前面一样被排除掉。依此继续做一下去，总是数剩下的人，直到剩下最后一个。他就是要和你结婚的那个人。”

　　约瑟芬皱着眉说：“爸爸，我还没搞清楚，我用10个金币做一下演习好吗？”

　　国王同意了。约瑟芬把10枚金币摆成一个圆圈，开始转圈数数。拿掉每一个第17枚，直到剩下最后一个。国王一直守候着直到他女儿完全掌握了这个过程。

　　十名求婚者被带到了王宫。他们围着约瑟芬站成一个圆圈。她一点也不含糊地从帕西瓦开始数了起来。很快地，除了她芳心暗许的乔治外，其余的人都被排除了。约瑟芬有什么诀窍使她很容易找到最后一定剩下乔治的第一个数呢？

　　下面是约瑟芬如何安排的妙谛所在。她在数金币做实验时，记住了最后留下的金币是从她开始数的那枚金币往下的第三号，因而当她数人时，从能把乔治排在第三号的那个数起。

　　约瑟芬问题的一般原理可通过一副扑克牌的13张黑桃来说明。你能把这些牌排成一个顺序表演如下的约瑟芬计数吗？

　　计数开始时，装有正面向下的十三张扑克牌的盒拿在一只手上，称最上面一张牌为1，翻开它是黑桃A。把A放在桌子上，然后数1、2，把第一张牌放在盒底下，第二张牌翻过来放在桌上面是黑桃2。然后数1、2、3，把头两张牌放在盒底下，第三张牌翻过来放在桌上，是黑桃3。如此继续下去，每次从盒上部只拿一张牌，然后再顺序拿第二张(与约瑟芬环周计数类同)，直到你翻开放到桌上的十三张牌恰好是从A到K的顺序。

　　下面是这些卡片的编排顺序；从上到下，做这样一个排列即可：A、8、2、5、10、3、Q、J、9、4、7、6、K。

　　如果你认为设计这样一个序列要浪费人们大量的时间，那么有一种能得到这序列的简单方法。很多人从事这类研究的能手在领悟到使问题简化的启示之前，都花费了大量时间。