《啊哈!灵机一动》－简单而复杂的立方体

　　欧几里德小姐的立方体

　　第一个问题的答案是：要证明将一个4×4×4的立方体切成64个小立方体至少切六刀(切每一刀时都可以任意摆放每一块的位置)，只需考察处于大立方体内部的8个小立方体中的任意一个。这种小立方体的六个面都处在大立方体的内部，没有任何一面暴露于大立方体的外表面，而且，小立方体的每个面都必须在切一刀之后才能形成，所以，要切出这样一个小立方体至少需六刀。

　　那么，是否有一个一般的方法，用最少的刀数把一个规则的长方体切成若干小立方体，当然在切的过程中允许任意安排每一块的位置。回答是肯定的，具体方法如下：长宽高三条棱相交于一点，从这一点出发，分别把长宽高分成若干个单位长度，由此确定可切的最少刀数。对每条棱，在尽可能靠近中心的位置切，然后把切下的两部分摞在一起，再在尽可能靠近中心的地方切，直至切到每一部分都是单位长度为止。三条棱需切的刀数之和，就是所求的最少刀数。

　　例如，一个3×4×5的盒子至少需切7刀：长度为3的边需切2刀，边长为4的需切2刀，边长为5的需3刀，一共需7刀。这种一般切法的证明早在1952年出版的《数学杂志》上便有登载。

　　第二个问题的答案：解决这个问题的思路是这样，在立方体的另一个面上画一个对角线，使这条线与原有的两条对角线一起构成一个封闭的三角形，见图2―22。这三条线相等，构成一个正三角形，那么这个三角形的每个角都是60度，所以欧几里德小姐提出的角度是60度。

　　图2-22

　　对这个问题我们还可以进一步引申一下，假如欧几里德小姐如图2―23所示在立方体上画两条线，A、B、C分别为三条棱的中心，那么AB与BC所夹的平面角的度数是多少？

　　图2-23

　　思路同前。首先，依次连接另四个面上相应棱的中点，使之形成一个绕立方体一周的封闭图形。这个封闭图形六条边，每边等长，而且每两边的夹角相等。如果我们能证明这个六边形的六个顶点都在同一平面上，那么这六条线构成的则必然是正六边形。而证明这六点共面需要一点演绎或者解析几何的知识，不过你可以实际操作一下，把一个正立方体木块沿着问题中涉及到的六个棱的中心锯开，你会发现这个切面恰好把立方体两等分，六点确实共面。

　　一个正立方体被如此两等分，且切面是一个正六边形，这一事实似乎不好想象或者有点出人意料。但是事实既然如此，我们只好把最初那两条线看作是这个正六边形的两条边，而其夹角则是正六边形的一个内角，即120度。

　　从图23中我们还可以想到另外一个有趣的问题。假如一只苍蝇循着立方体的表面从A点爬向C点，请问，从A经由B点到达C点的路径是最短路径吗？

　　这里我们必须很清楚我们的思考方法，假设我们能“打开”这个立方体，即使相邻两面成为一个平面，那么在这个平面上连接AC两点的线段就是从A到C的最短路径。需要注意的是这样做的具体途径有两个：旋转顶面使之与前面重合，或者使前面与右面合二为一。前一种情况AC长√2 ，后一种情况AC长√2.5，这说明图23画出的线路就是从A到C的最短路径。

　　第三个问题的答案：你完全可以先在某一个面上测量，得到数据后两次利用勾股定理求出要求的空间对角线的长度。可是有一个更简单的方法，找一个长方形桌面的桌子，设立方体的棱长为X，从桌角起沿桌边量出距离X，在这点处做个记号，让立方体的一个顶点处在这一点上，一条棱重合于桌边，如图2―24所示，显然，AB两点问的距离就是所要求的立方体的空间对角线的长度，它可以用尺子直接量出来。

　　图2-24

　　有一个大球，要量出它的半径，而尺子的长度只是大球直径的三分之二，怎么办？一个简单的方法是，在球上某部分涂上口红或别的什么颜色的涂料，然后把这个球放在地板上靠近墙边，让涂色那一部分与墙面接触，那么口红就会在墙上做了一点记号，这一点距地面的高度很容易用尺子直接量出，其长度即大球的半径。

　　想试试怎样用最简单的方法测量出圆锥体或正四面体的高吗？想试试怎样用木匠的角尺测出圆柱形管子的半径吗？