奥数网教研组：关于学习数论，给孩子的几点建议

　　【问题1】数论究竟包括哪几部分内容？

　　答：我们小学所学习到的数论内容主要包含以下几类：

　　整除问题：（1）整除的性质；（2）数的整除特征 （小升初常考内容）

　　余数问题：（1）带余除式的运用     被除数=除数×商+余数.（余数总比除数小）

　　（2）同余的性质和运用

　　奇偶问题：（1）奇偶与加减运算；（2）奇偶与乘除运算

　　质数合数：重点是质因数的分解（也称唯一分解定理）

　　约数倍数：（1）最大公约最小公倍两大定理

　　一：两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。

　　二：两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。

　　（2）约数个数决定法则             （小升初常考内容）

　　整数及分数的分解与分拆：这一部分在一类中学的分班考试题中常常出现，属于较难的题型。

　　【问题2】数论部分在考试题型中占据什么地位？

　　答：在整个数学领域，数论被当之无愧的誉为“数学皇后”。翻开任何一本数学辅导书，数论的题型都占据了显著的位置。在小学各类数学竞赛和小升初考试中，我们系统研究发现，直接运用数论知识解题的题目分值大概占据整张试卷总分的30%左右，而在竞赛的决赛试题和小升初一类中学的分班测试题中，这一分值比例还将更高。

　　出题老师喜欢将数论题作为区分尖子生和普通学生的依据，这一部分学习的好坏将直接决定你是否可以在选拔考试中拿到满意的分数。

　　【问题3】孩子在学习数论部分常常会遇到哪些问题？

　　数学课本上的数论简单，竞赛和小升初考试的数论不简单。

　　答：有些孩子错误地认为数论的题目很简单，因为他们习惯了数学课本上的简单数论题，比如：

　　例1：求36有多少个约数？

　　这道题就经常在孩子们平时的作业里和单元测试里出现。可是小升初考题里则是：

　　例2：求3600有多少个约数？（海淀试验进修今年小升初数学选拔题）

　　很多孩子就懵了，因为“平时考试里没有出过这么大的数！”（孩子语） 于是乎也硬着头皮用课堂上求约数的方法去求，白白浪费了大把的时间，即使最后求出结果也并不划算。

　　这道题其实用约数个数决定法则非常好求，而且省时省力！可是我们的出题老师却振振有词道：“这道题不超纲，也符合教委的精神，因为你就是用普通数学的方法也能做出来，无非多花一些时间而已！”殊不知考试的时间何其宝贵，这道题的解法其实已经将孩子的数学水平分出了高下！

　　数论的定理背起来简单，但真正理解和掌握却很难。

　　数论的定理在很多好的奥数辅导书中都有概括，于是有些孩子拿起来蒙头就开始背，终于花了不少时间硬啃下来，却不食其中“滋味”，遇上数论的题目只能一条一条定理的硬套，结果很多题目还是不会做。这里的原因在于缺乏老师正确的引导，很多定理细心领会比死记更重要！孩子自身的领悟能力有限，站在老师的肩膀上才能看得更远！

　　单个数论的知识点掌握起来较简单，但综合运用却很难。

　　数论的题有的时候会和其它知识点综合起来考察，比如和分数，和计数综合等等。这样的题学生往往感觉无从下手，也有一定难度，因此得分率很低。比如，

　　例3： 一个学校参加某项兴趣活动的学生不到100人，其中男同学人数超过总数的4/7 ，女同学的人数超过总数的2/5 。问男女生各多少人？（理工附今年小升初选拔压轴题）

　　这道题兼顾分数主要从数论中的整除特性考查学生。

　　例4：有一个四位数分别除以它的各位数字得到四个整数商，这四个商的和还是这个四位数，求满足要求的四位数共有多少个？（05年4月30日晚华校素质调查选拔考题）

　　这道题同样从数论入手考察学生多个知识点的综合运用，题目较难。

　　【问题4】该如何学习数论知识？

　　答：数论的知识点较多，在考试中占的比重较大，学生在学习的过程中，熟记定理是必要的，除了熟记以外，更应该知其然，知其所以然。如果时间允许，可以动手将所有定理和公式一一推导一遍。比如：为什么能被4（或25）整除的数只需要看末尾两位是否能被4（或25）整除？原来 可以分成两部分的和[ +  ] 前一部分能被100整除（当然也肯定能被4或25整除），所以只需看后两位即可。理解了这个也就不难理解：为什么能被8（或125）整除的数只需要看末三位是否能被其整除即可（想一想？）

　　这样做的益处是一方面让孩子更深刻的理解了定理和公式来源，举一反三，而不是死记硬背；另一方面当作习题来熟练解题套路，实践证明对于孩子的思维发散是很有帮助的。

　　要想深刻掌握数论题的解题要领，还需要多做些数论的综合题。有些解题的常用套路是可以归纳总结的，比如整数表示法，枚举法，反证法，构造法等等在这里不一一叙述，需要由老师帮助引领完成。

　　【问题5】哪些参考书数论部分编写的较好？

　　答：对于数论常用知识点不了解的学生可参看：

　　《华校课本五年级》上册1～5讲，下册第4讲；《华校课本六年级》上册第8讲，下册第7讲。（讲解知识点较为详细）

　　对于数论常用知识点有一定了解的学生可参看：

　　奥数网讲义中精选的数论例题（对于提高解题技巧和应试有较大帮助）

　　迎春杯历届试题中数论部分（题目较为经典，被反复使用）

　　《小学数学爱好者专题讲座》中的数论部分例题和习题（题目常在近年小升初选拔考试中原题出现）

　　【问题6】奥数网有无数论部分的针对性辅导？

　　答：奥数网教练组对于学生数学学习中的三大难点：行程问题，数论问题，几何问题有着深刻认识和了解，并依托团队的智慧和长期的教学经验总结出一套行之有效的方法，引导学生深刻理解和掌握三大重点，在考试中取得佳绩。针对三大难点的短期班将会在奥数网陆续推出，敬请学员家长留意！

　　附录

　　数论水平测试题

　　1．在43的右边补上三个数字，组成一个五位数，使它能被3，4，5整除，求这样的最小五位数.

　　2．两个整数A，B的最大公约数是C，最小公倍数是D.已知C不等于1，也不等于A或B，并且C＋D＝187.求A＋B是多少？

　　3．某个自然数是3和4的倍数，包括1和它本身在内共有10个约数，那么这个自然数是几？

　　4．将8个数14，30，33，75，143，169，4445，4953分成两组，每组4个数，要使每组的4个数的乘积相等，如何分组？

　　5．如果某个三位数除492，2241，3195都余15，那么这个三位数是几？

　　6．一个数除以5余1，除以6余3，除以7余6，这个数是几？

　　7．有学生在操场上列队做操，只知人数在90～150之间.如果排成3列不多也不少；如排成5列则少2人；如排成7列则少4人.问共有学生多少人？

　　8．用0，1，2，3，4五个数字组成四位数，每个四位数中均没有重复数字（如1023，2341），求全体这样的四位数之和