世界名题与小升初之一：裴波那契数列的若干表现

    在各类竞赛中，各类小升初考试中相关的世界名题出现的概率极高，这是由小升初与数学竞赛的特点决定，这特点便是：知识性，趣味性，思想性相结合。

    中世纪最有才华的数学家斐波那契（1175年～1259年）出生在意大利比萨市的一个商人家庭。因父亲在阿尔及利亚经商，因此幼年在阿尔及利亚学习，学到不少时尚未流传到欧洲的阿拉伯数学。成年以后，他继承父业从事商业，走遍了埃及、希腊、叙利亚、印度、法国和意大利的西西里岛。

    斐波那契是一位很有才能的人，并且特别擅长于数学研究。他发现当时阿拉伯数学要比欧洲大陆发达，因此有利于推动欧洲大数学的发展。他在其他国家和地区经商的同时，特别注意搜集当地的算术、代数和几何的资料。回国后，便将这些资料加以研究和整理，编成《算经》（1202年，或叫《算盘书》）。《算经》的出版，使他成为一个闻名欧洲的数学家。继《算经》之后，他又完成了《几何实习》（1220年）和《四艺经》（1225年）两部著作。

   《算经》在当时的影响是相当巨大的。这是一部由阿拉伯文和希腊文的材料编译成拉丁文的数学著作，当时被认为是欧洲人写的一部伟大的数学著作，在两个多世纪中一直被奉为经典著作。

    在当时的欧洲，虽然多少知道一些阿拉伯记数法和印度算法，但仅仅局限在修道院内，一般的人还只是用罗马数学记数法而尽量避免用“零”。斐波那契的《算经》，介绍了阿拉伯记数法和印度人对整数、分数、平方根、立方根的运算方法，这部著作在欧洲大陆产生了极大的影响，并且改变了当时数学的面貌。他在这本书的序言中写道：“我把自己的一些方法和欧几里得几何学中的某些微妙的技巧加到印度的方法中去，于是决定写现在这本15章的书，使拉丁族人对这些东西不会那么生疏。

    在斐波那契的《算经》中，记载着大量的代数问题及其解答，对于各种解法都进行了严格的证明。下面是书中记载的一个有趣的问题：

    [例题1]有个人想知道，一年之内一对兔子能繁殖多少对？于是就筑了一道围墙把一对兔子关在里面。已知一对兔子每个月可以生一对小兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子。假如一年内没有发生死亡现象，那么，一对兔子一年内能繁殖成多少对？

    现在我们先来找出兔子的繁殖规律，在第一个月，有一对成年兔子，第二个月它们生下一对小兔，因此有二对兔子，一对成年，一对未成年；到第三个月，第一对兔子生下一对小兔，第二对已成年，因此有三对兔子，二对成年，一对未成年。月月如此。

    第1个月到第6个月兔子的对数是：

    1，2，3，5，8，13。

    我们不难发现，上面这组数有这样一个规律：即从第3个数起，每一个数都是前面两个数的和。若继续按这规律写下去，一直写到第12个数，就得：

    1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。

    显然，第12个数就是一年内兔子的总对数。所以一年内1对兔子能繁殖成233对。

    在解决这个有趣的代数问题过程中，斐波那契得到了一个数列。人们为纪念他这一发现，在这个数列前面增加一项“1”后得到数列：

    1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……叫做“斐波那契数列”，这个数列的任意一项都叫做“斐波那契数”。

    在美国《科学美国人》杂志上曾刊登过一则有趣的故事：

    [例题2]世界著名的魔术家兰迪先生有一块长和宽都是13分米的地毯，他想把它改成8分米宽、21分米长的地毯。

    他拿着这块地毯去找地毯匠奥马尔，并对他说：“我的朋友，我想请您把这块地毯分成四块，然后再把它们缝在一起，成为一块8分米×21分米的地毯。”奥马尔听了以后说道：“很遗憾，兰迪先生。您是一位伟大的魔术家，但您的算术怎么这样差呢！13×13=169，而8×21=168，这怎么办得到呢？”兰迪说：“亲爱的奥马尔，伟大的兰迪是从来不会错的，请您把这块地毯裁成这样的四块。”

    然而奥马尔照他所说的裁成四块后。兰迪先生便把这四块重新摆好，再让奥马尔把它们缝在一起，这样就得到了一块8分米×21分米的地毯。

    奥马尔始终想不通：“这怎么可能呢？地毯面积由169平方分米缩小到168平方分米，那一平方米到哪里去了呢？”

    将四个小块拼成长方形时，在对角线中段附近发现了微小的重叠。正是沿着对角线的这点叠合，而导致了丢失一个单位的面积。读者不妨自己用纸试一下。  

    涉及到四个长度数5，8，13，21都是斐波那契数，并且132=8×21+1，82=5×13-1。多做几次上述的试验，就可以发现斐波那契数列的一个有趣而重要的性质：an2=an-1•an+1±1（n≥2）,即每个斐波那契数的平方与它左右两个数的乘积相差1。

    斐波那契数列在实际生活中有非常广泛而有趣的应用。除了动物繁殖外，植物的生长也与斐波那契数有关。数学家泽林斯基在一次国际性的数学会议上提出树生长的问题：如果一棵树苗在一年以后长出一条新枝，然后休息一年。再在下一年又长出一条新枝，并且每一条树枝都按照这个规律长出新枝。那么，第1年它只有主干，第2年有两枝，第3年就有3枝，然后是5枝、8枝、13枝等等，每年的分枝数正好是斐波那契数。

    生物学中所谓的“鲁德维格定律”，也就是斐波那契数列在植物学中的应用。

    下面这些例子，都落实到与小升初有关的考题中了。题目的面目各不相同，但最后都露出斐波那契数列的真面目。

    [例题3]下图是一个树形图的生长过程，依据图中所示的生长规律，第16行的实心圆点的个数是            ．（迎春杯赛题）

    分析与解：我在上课时经常提到，有些题它只是表达的形式不一样，其实只要透过现象抓住本质，不同的表达形式，所要揭示的问题的实质是一样的。

    这一题的实质是上面提到的生长树，是非常有名的裴波那契数列。

    从图上很容易看出从第一行开始，实心圆点的数量是这样排列的：0，1，1，2，3，5……

    对于每一个空心圆点它到下一行只生出一个实心圆点，而对于每一个实心圆点它到下一行可生出一空一实两个点。到第六时我们可看出这一行的五个实心圆点到下一行必定能生出5个实心圆点另五个是空心圆点，另外三个空心圆点还能生出三个实心圆点，因此下一行为5+3=8个实心圆点，同理下一行的实心圆点数为本行的所有实心加所有空心圆点数，为8+5=13……不用多说，这实际有一个非常明显的规律：也就是这一列数从第三个数起任一个数都等于它前两个数的和。因此结果很快可推知：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610。第16行的实心圆点个数为610。

    另外空心圆点的数目其实也是有一定规律的，可以列出来看一下：1，0，1，1，2，3，5，8……你能发现其中的规律吗？那么第16行空心圆点的个数又是多少呢？

    [例题4]一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶，最多可以迈三级台阶。从地面到最上面一级台阶，一共可以有多少种不同的走法？（华校思维导引计数综合二）

    分析与解：
    这题同样用找规律的方法，我们可以先看只有1级台阶的情况开始：
    一级台阶，有：1种；
    2级台阶，有1、1，2，共两种；
    3级台阶，可以有：1、1、1，1、2，2、1，3，共4种走法；
    4级台阶时，有：1、1、1、1，1、1、2，1、2、1，2、1、1，2、2，1、3，3、1，共7=4+2+1种；
    5级台阶时，有：1、1、1、1、1，1、1、1、2，1、1、2、1，1、2、1、1，2、1、1、1，1、2、2，2、1、2，2、2、1，1、1、3，1、3、1，3、1、1，2、3，3、2，共13=7+4+2种；
    6级台阶时，得到24=13+7+4种；
    即：n级台阶时，所有的走法种数是它的前三种走法的和。
    由此得到，10级台阶时为274种。

    上面的方法我用另一种思路来加以说明，可能对你有帮助。即还可用加法原理倒推，较重要。想上第10级台阶，根据题意，完成这件事情的方法可分为三类：一是从第9级台阶跨一步上去，二是从第8级台阶跨两步上去，三是从第7级台阶跨三步上去，这三类中每一类方法都能完成“上第十级台阶”这一任务，具有典型的加法原理特征。也就是A10=A9+A8+A7，A10，A9等表示上第N级台阶的方法数。

    同理可推得：A9=A8+A7+A6
                A8=A7+A6+A5
                ……
                A4=A3+A2+A1
    那么只要前三个台阶数的答案，后面的逐渐加上去就可以了。

    [例题5]对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加，如此进行直到得数为1操作停止。问经过9次操作变为1的数有多少个？（华校考题）

    分析与解：这一题首先我们可以明确的是要采用逆推的方法，其次我们还得利用找规律来归纳出计算方法。在复杂的或者步子比较多的计数中，找规律是一种非常常用的方法。
归纳总结上述规律，从第三项起，每一项都是前两项之和。

    各位读者，有了上面的经验，你能不能看出下面几道题的真面目。
   [考考1]如下图，从A处穿过房间到达B处，如果要求只能从小号码房间走向大号码房间，那么共有多少种不同的走法？

    [考考2]有一堆火柴共 12根，如果规定每次取 1～3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？

    [考考3]如下图，小方和小张进行跳格子游戏，小方从A跳到B，每次可跳1步或2步；小张从C跳到D，每次可跳1步、2步或3步。规定：谁跳到目标处的不同跳法最多，谁就获胜。问获胜方的跳法比另一方多         种。

    [考考4]一只青蛙从宽5米的水田的一边要跳往另一边,它每次只能跳0.5米,或1米,这只青蛙跳过水田共有多少种不同的方法？

   发现同学们做这类题最常见的错误是弄错项数，像第一题明明是55，但容易算成34，或89，这一点千万要注意次数与答案之间的一一对应关系。