小学六年级奥数训练——工程问题思路指点
工程问题是研究工作效率、工作时间和工作总量之间相互关系的一种应用题。我们通常所说的：“工程问题”，一般是把工作总量作为单位“1”，因此工作效率就是工作时间的倒数。它们的基本关系式是：工作总量÷工作效率＝工作时间。
工程问题是小学分数应用题中的一个重点，也是一个难点。下面列举有关练习中常见的几种题型，分别进行思路分析，并加以简要的评点，旨在使同学们掌握“工程问题”的解题规律和解题技巧。
例1一项工程，由甲工程队修建，需要12天，由乙工程队修建，需要20天，两队共同修建需要多少天？
［思路说明］①把这项工程的工作总量看作“1”。甲队修建需要12天，修建1天完成这项工程的1／12；乙队修建需要20天，修建1天完成这项工程的1／20。甲、乙两队共同修建1天，完成这项工程的1／12＋1／20＝2／15，工作总量“1”中包含了多少个2／15，就是两队共同修建完成这项工程所需要的天数。
1÷（1／12＋1／20）＝1÷2／15＝15／2（天）
②设这项工程的全部工作量为60（12和20的最小公倍数），甲队一天的工作量为60÷12＝5，乙队一天的工作量为60÷20＝3，甲、乙两队合建一天的工作量为5＋3＝8。用工作总量除以两队合建一天的工作量，就是两队合建的天数。
60÷（60÷12＋60÷20）＝60÷（5＋3）
＝60÷8＝15／2（天）
评点这是一道工程问题的基本题，也是工程问题中常见的题型。上面列举的两种解题方法，前者比较简便。这种解法把工作量看作“1”，用完成工作总量所需的时间的倒数作为工作效率，用工作总量除以工作效率和，就可以求出完成这项工程所需的时间。工程问题一般采用这种方法求解。
练习：一段公路，甲队单独修要10天完成，乙队单独修要12天完成，丙队单独修要15天完成，甲、乙、丙三队合修，需要几天完成？
例2一项工程，甲队独做8天完成，乙队独做10天完成，两队合做，多少天完成全部工程的3／4？
［思路说明］①把这项工程的工作总量看作“1”，甲队独做8天完成，一天完成这项工程的1／8；乙队独做10天完成，一天完成这项工程的1／10。甲、乙两队合做一天，完成这项工程的1／8＋1／10＝9／40，工作总量“1”中包含多少个甲乙效率之和，就是甲乙合做所需要的天数。甲乙合做所需时间的3／4，就是甲乙合做完成全部工程的3／4所需的时间。
1÷（1／8＋1／10）×3／4
＝1÷9／40×3／4＝10／3（天）
②把甲、乙两队合做的工作量3／4，除以甲、乙两队的效率之和1／8＋1／10＝9／40，就是甲乙合做完成全部工程的3／4所需要的时间。
3／4÷（1／8＋1／10）＝3／4÷9／40＝10／3（天）
评点思路①是先求出两队合做一项工程所需的时间，再用乘法求出完成全部工程的3／4所需的时间。思路②是把“3／4”看作工作总量，工作总量除以两队效率之和，就可以求出完成全部工程的3／4所需的时间。两种思路简捷、清晰，都是很好的解法。
练习：一项工程，单独完成，甲队需8天，乙队需12天。两队合干了一段时间后，还剩这项工程的1／6没完成。问甲、乙两队合干了几天？
例3东西两镇，甲从东镇出发，2小时行全程的1／3，乙队从西镇出发，2小时行了全程的1／2。两人同时出发，相向而行，几小时才能相遇？
［思路说明］①由甲2小时行全程的1／3。可知甲行完全程要2÷1／3＝6（小时）；由乙2小时行全程的1／2，可知乙行完全程要2÷1／2＝4（小时）。求出了甲、乙行完全程各需要的时间，时间的倒数便是各自的速度，进而可求出两人速度之和，把东西两镇的路程看作“1”，除以速度之和，就可求出两人同时出发相向而行的相遇时间。
综合算式：
1÷（1／（2÷1／3）＋1／（2÷1／2））
＝1÷（1／6＋1／4）＝1÷5／12＝12／5（小时）
②由甲2小时行了全程的1／3，可知甲每小时行全程的1／3÷2＝1／6；由乙2小时行全程的1／2，可知乙每小时行全程的1／2÷2＝1／4。把东西两镇的路程“1”，除以甲、乙的速度之和，就可得到两人同时出发相向而行的相遇时间。
综合算式：
1÷（1／3÷2＋1／2÷2）
＝1÷（1／6＋1／4）＝1÷5／12＝12／5（小时）
评点本题没有直接告诉甲、乙行完全程各需的时间，所以求出甲、乙行完全程各需的时间或各自的速度，是解题的关键所在。
练习：打印一份稿件，小张5小时可以打完份稿件的1／3，小李3小时可以打完这份稿件的1／4，如果两人合打多少小时完成？
例4一项工程，甲、乙合做6天可以完成。甲独做18天可以完成，乙独做多少天可以完成？
［思路说明］把一项工程的工作总量看作“1”，甲、乙合做6天可以完成，甲、乙合做一天，完成这项工程的1／6，甲独做18天可以完成，甲做一天完成这项工程的1／18。把甲、乙工作效率之和，减去甲的工作效率1／18，就可得到乙的工作效率：1／6－1／18＝1／9。工作总量“1”中包含了多少个乙的工作效率，就是乙独做这项工程的需要的时间。
1÷（1／6－1／18）＝1÷1／9＝9（天）
评点这是一道较复杂的工程问题，是工程问题的主要题型之一。主要考查同学们运用分数的基本知识及工程问题的数量关系，解决实际问题的能力。解答这类工程问题的关键是：先求出独做的队或个人的工作效率，然后用工作总量“1”除以一个队或个人的工作效率，就可以求出一个队或个人独做的工作时间。
有的同学在解这道题时，由于审题马虎，而且受基本工程问题解法的影响，错误地列成：1÷（1／6＋1／18），这是同学们应引起注意的地方。
练习：一批货物，用大小两辆卡车同时运送，5小时可以运完。如果用小卡车单独运，15小时可以运完。问大卡车单独运几小时可以运完？
例5加工一批零件，单独1人做，甲要10天完成，乙要15天完成，丙要12天完成。如果先由甲、乙两人合做5天后，剩下的由丙1人做，还要几天完成？
［思路说明］题目要求剩下的工作量由丙1人做，还要几天完成，必须知道剩下的工作量和丙的工作效率。
加工一批零件，单独1人做，甲要10天完成，甲一天加工一批零件的1／10；乙要15天完成，乙一天加工一批零件的1／15；丙要12天完成，丙一天加工一批零件的1／12。甲、乙合做一天，完成这批零件的1／10＋1／15＝1／6，合做5天完成这批零件的1／6×5＝5／6，工作总量“1”减去甲、乙合做5天的工作量，就得到剩下的工作量。把剩下的工作量除以丙的工作效率，就可以求出剩下的工作量由丙1人做还要几天完成。
综合算式：
［1－（1／10＋1／15）×5］÷1／12
＝［1－1／6×5］÷1／12
＝1／6÷1／12＝2（天）
评点这是一道较复杂的工程问题，是工程问题中的主要题型之一，也是升学或毕业考试中最常见的试题之一。它的特点是求剩余部分的工作量完成的时间。关键是正确求出剩余部分的工作量。从工作总量“1”中减去已完成的工作量，就是剩余部分的工作量。有的同学由于审题不细，又受前面几例工程问题的解法的影响，容易错误地列成：［1÷（1／10＋1／15）×5］÷1／12．
练习：加工一批零件，甲独做要8天完成，乙独做要7天完成，丙独做要14天完成，三人合作2天后，甲因病休息，乙、丙两人继续合做还要几天完成？
例6一件工程，甲、乙合作6天可以完成。现在甲、乙合作2天后，余下的工程由乙独做又用8天正好做完。这件工程如果由甲单独做，需要几天完成？
［思路说明］一件工程，甲、乙合作6天可以完成，可知甲、乙合作1天完成这件工程的1／6，甲、乙合作2天，完成这件工程的1／6×2＝1／3。用工作总量“1”减去甲、乙合作2天的工作量1／3，所得的差1－1／3＝2／3，就是余下的工作量。又知余下的工程由乙独做用了8天正好做完，用余下的工作量除以8，就可以求出1天的工作量，即乙的工作效率。把甲、乙工作效率之和减去乙的工作效率，就可得到甲的工作效率。求出了甲的工作效率，只要把工作总量“1”除以甲的工作效率，就可得到甲独做这件工程所需要的天数了。
综合算式：
1÷［1／6－（1－1／6×2）÷8］
＝1÷［1／6－（1－1／3）÷8］＝1÷［1／6－2／3÷8］
＝1÷［1／6－1／12］＝1÷1／12＝12（天）
评点这也是一道复杂的工程问题。解题的关键是正确求出甲的工作效率。要求出甲的工作效率，解题的步骤较多，只有熟悉和掌握工程问题的结构特点和解题思路，熟练掌握前面5道例题的解题方法及解题的技能、技巧，才能正确顺利地解答本题。
练习：一项工程，甲、乙两队合做9天完成，乙、丙两队合做12天完成，现在甲、乙两队合做了3天，接着乙、丙两队又合做了6天，最后由丙队单独12天完成了整个工程。如果整个工程由甲、丙两队合做需要几天完成？
