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2000年IMO中国国家集训队选拔考试题目

来源:2000年IMO 文章作者:姚健钢 供题 2008-11-04 11:38:42

一、如图,在△ABC中,AB=AC,线段AB上有一点D,线段AC的延长线上有一点E,使得DE=AC;线段DE与?ABC的外接圆交于T点,P是线段AT的延长线上的一点.证明:点P满足PD+PE=AT的充分必要条件是点P在△ADE的外接圆上.

(裘宗沪 供题)

二、给定正整数k、m、n,满足1≤k≤m≤n,试求  <?xml:namespace prefix = v ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" />的值,并写出推算过程.

(许以超 供题)

三、对正整数a≥2,记Na为具有以下性质的正整数k的个数:k的a进制表示的各位数字的平方和等于k.证明:

(1)Na为奇数;

(2)对任意给定的正整数M,存在正整数a≥2,使得Na≥M.

(陈永高 供题)<?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />

(2000-04-01 8:00~12:30)

四、设f(x)是整系数多项式,并且f(x)=1有整数根.约定将所有满足上述条件的f组成的集合记为F.对于任意给定的整数k>1,求最小的整数m(k)>1,要求能保证存在f∈F,使得f(x)=m(k)恰有k个互不相同的整数根.

(张筑生 供题)

五、(1)设a、b是正实数,数列{x}和{y}满足

=1,y=0,且

k=0,1,2,….

求证:

k

其中λk,1

(2)记u ,对任意给定的正整数m,将u除以2所得的余数记为zm,k.求证:{zm,k?},k=0,1,2,…,为纯周期数列,并求出最小正周期.

(黄玉民 供题)

六、设n为正整数,记集合M={(x,y)|x,y是整数,1≤x,y≤n}.定义在M上的函数f具有性质:

(a)f(x,y)取值于非负整数;

(b)当1≤x≤n时,有 =n-1;

(c)若f(x,y)f(x,y)>0,则(x-x)(y-y)≥0.

试计算这样的函数f的个数N(n),并求出N(4)的具体数值.