1997年全国高中数学联合竞赛第二试试题附录答案

　　证明：如图，设圆、圆，圆的半径分别为、、。由条件知O、O₁、S三点共线及O、O₂、T三点共线，且OS＝OT＝，连结OS、OT、SN、NT、O₁M、O₁N、O₂M、O₂N、O₁O₂。

　　充分性：设S、N、T三点共线，则∠S＝∠T,又△O₁SN与△O₂NT均为等腰三角形,

　　∴∠S＝∠O₁NS，∠T＝∠O₂NT, ∴∠S＝∠O₂NT, ∠T＝∠O₁NS，

　　∴O₂N∥OS, O₁N∥OT,故四边形OO₁NO₂为平行四边形，由此知OO₁＝O₂N＝＝MO₂,

OO₂＝O₁N＝＝MO₁, ∴△O₁MO≌△O₂OM,从而有，由此得O₁O₂∥OM,又由于O₁O₂⊥MN，故0M⊥MN。

　　必要性：若0M⊥MN，又O₁O₂⊥MN，故O₁O₂∥OM，从而有，

　　设OM＝，由O₁M＝，O₁O＝－，O₂O＝－，O₂M＝，知△O₁MO与△O₂OM 的周长都等于＋，记，由三角形面积的海伦公式，有

，

化简得（－）（－－）＝0，又已知≠，∴ ＝＋，故有

O₁O＝－＝＝O₂N，O₂O＝－＝＝O₁N，∴OO₁NO₂为平行四边形，

∴∠O₁NT＋∠T＝180°，∠O₂NS＋∠S＝180°，又△O₁SN与△O₂NT均为等腰三角形，

∠T＝∠O₂NT，∠S＝∠O₁NS，∴∠O₁NO₂＋2∠S＝∠O₂NS＋∠S＝∠O₁NT＋∠T＝∠O₁NO₂＋2∠T，即∠S＝∠T，∴∠O₁NS＝∠O₂NT，故∠O₁NS＋∠O₁NO₂＋∠O₂NT＝∠SNO₂＋∠S＝180°，

∴S、N、T三点共线。

　　2、试问：当且仅当实数满足什么条件时，存在实数使得…（1）成立，其中为虚数单位，,证明你的结论。 （天津供题）

解：易知（1），

若存在实数使（2）成立，则，

由柯西不等式可得，如果，则由（2）可得

，从而与（3）矛盾。于是得，

反之，若（4）成立，有两种情况

　　（i），则取，显然（2）成立。

　　（ii），记，从而不全为0，不妨设，取，

　　，，易知（2）也成立。

　　综上可知，所求的条件为。

　　3、在100×25的长方形表格中每一格填入一个非负实数，第行第列中填入的数为（如表1），然后将表1每列中的数按由大到小的次序从上到下重新排列为（如表2）。求最小的自然数，使得只要表1中填入的数满足，则当时，在表2中就能保证成立。 （命题组供题）

　　解：的最小值为97。

　　（1）取

这时，满足题设条件，重排后有

，

这时，故的最小值。

　　（2）首先证明：表1中必有一行（设为第行）的所有数，必在重排后所得表2的前97行中都出现。

　　事实上，若上述结论不成立，则表1的每一行中至少有一个数不在表2的前97行中出现，即表2的前97行中至多共有表1中100×24＝2400个数，这与表2的前97行共有25×97＝2425个数矛盾。

其次，由重排要求知表之中每列的数从上到下是由大到小排列的，故当时，

故当时，，

　　综合（1）、（2）知的最小值为97。