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[奥数课堂]让静止的图形动起来

2008-05-07 13:49:25    说两句

以静变动,让静止的图形动起来,这是一种动态的思想方法,这种思想方法在求解几何图形面积时是常常用到的。现举例如下:

  一、旋转的思想方法

  将所给图形中的某一部分绕一个固定点旋转一定(或适当)的角度,变为较明显的简单而又直观的图形。

  例1 如图1中的两个三角形都是正三角形,大三角形的面积是小三角形面积的多少倍?

  分析与解 观察图1可见,只需将小三角形绕圆心旋转60°,得到如图2所示的图形。小三角形将大三角形分别割成面积相等的四块。因此大三角形的面积是小三角形面积的4倍。

  例2 求图3中阴影部分的面积。(π取3)(单位:厘米)

 

  分析与解 观察图3发现,只要将图中右边的阴影部分绕圆心逆时针方向旋转90°就得到图4所示的形状。所求的阴影部分的面积就是大扇形的面积与空白部分(三角形)面积的差。即

  

  二、移动的思想方法

  1.点的移动:将图中的某一点看作一个“动点”沿直线移动,使原来分着的空白部分合并在一起变成一个简单明了的图形。

  例3 如图5,已知长方形的长是8厘米,宽是4厘米,图中阴影部分面积是10平方厘米,求OD长多少厘米?

  分析与解 观察图5,把图中的阴影部分看作两个三角形(即△ABO和△CBO),将这两个三角形中的A点和C点分别看作“动点”平移到如图6所示的A'点和C'点(等底等高,面积相等),等积变形为一个简单的三角形A'C'O。因为阴影部分面积是10平方厘米,A'C'的长为4厘米,所以OB的长度为(10×2÷4=)5(厘米),因此OD的长度是(8-5=)3(厘米)。

  2.面的移动:将所给图形中的某个图形沿直线上下左右移动,把复杂的图形转化成简单的图形,使原来面积不等变成相等。

  例4 有红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片,放在一个正方形盒内,它们之间互相叠合(如图7),已知露在外面的部分中,红色面积是20,黄色面积为14,绿色面积是10,那么正方形盒子的面积是多少?

  分析与解 根据题目的条件,观察图7,发现黄色正方形沿着正方形盒子的边线慢慢向左平移,黄色纸片的小部分逐渐被红色纸片所盖没,绿色纸片却逐渐在增加,黄色纸片盖住的部分就是绿色纸片增加的部分。直移到红色与黄色两纸片下上对齐。此时绿色纸片也暴露到了最大的程度(如图8),而且黄色纸片与绿色纸片的面积是相等的。即黄色和绿色的面积都为((10+14)÷2=)12。我们把留出的空白部分假设为白色,从图中可看出,红、黄两纸片有一边相同,绿、白两纸片也有一边相同,所以它们各自面积之比等于相应边长的比。便有:

  

  因此,所求正方形盒子的面积为

  20+12+12+7.2=51.2

  三、翻折的思想方法

  将所给图形的某一部分以某一直线为对称轴翻折,使原来复杂的图形变为直观图形。

  例5 如图9,长方形的长是8,宽是6,A和B是宽的中点,求长方形内阴影部分的面积。

  分析与解 观察图9,根据题目的条件可知直线AB将原大长方形分成大小一样的两个小长方形。只需把下面的小长方形以直线AB为对称轴向上翻折,就把下面长方形内的阴影部分合并到如图10所示的上面的长方形中。我们知道阴影部分的面积就是小长方形面积的一半,即所求阴影部分的面积为

  8×(6÷2)÷2=12。

  例6 在图11中,圆的半径为r,求阴影部分的面积。

  分析与解 以图11中的水平直径作为对称轴,将上半部分往下翻折,使阴影部分拼合成两个三角形(如图12)。可以看出,所求的阴影部分面积等于梯形面积与空白部分(即三角形面积)的差。所以

  阴影部分面积=(2r+4r)×r÷2-2r×r÷2=2r2

来源:网友投稿 作者:浙江省诸暨市大唐镇校 侯均明

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